山西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
二、（20 分）设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=1 \\ -x_{2}+(a-3) x_{3}-2 x_{4}=b \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+a x_{4}=-1\end{array}\right.$ ，讨论 $\displaystyle a, b$ 为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？并求无穷多解？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵形式：
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & a-3 & -2 & b \\ 3 & 2 & 1 & a & -1 \end{pmatrix}\]
提示：注意常数项在最后一列，不要写错位置。
步骤 2/6
目标：初等行变换（第一步）
第4行减去3倍第1行：
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & a-3 & -2 & b \\ 0 & -1 & -2 & a-3 & -1 \end{pmatrix}\]
提示：行变换时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：初等行变换（第二步）
第3行加上第2行，第4行加上第2行：
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a-1 & -1 & b+1 \\ 0 & 0 & 0 & a-2 & 0 \end{pmatrix}\]
提示：注意第3行第3列变为a-1，第4行第4列变为a-2。
步骤 4/6
目标：讨论无解、唯一解、无穷多解的条件
由阶梯形矩阵，系数矩阵秩为4当且仅当$a\neq1$且$a\neq2$，此时增广矩阵秩也为4，方程组有唯一解。
当$a=1$时，矩阵变为：
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & b+1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\]
若$b+1\neq0$，则第3行与第4行矛盾，无解；若$b+1=0$，则第3行与第4行成比例，秩为3，有无穷多解。
当$a=2$时，矩阵变为：
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & b+1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
系数矩阵秩为3，增广矩阵秩也为3，有无穷多解（b任意）。
提示：注意区分系数矩阵和增广矩阵的秩，以及矛盾行出现的条件。
步骤 5/6
目标：求无穷多解的通解（情况1：a=1, b=-1）
当$a=1, b=-1$时，阶梯形为：
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
对应方程组：
\[\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ x_2 + 2x_3 + x_4 = 1 \\ -x_4 = 0 \end{cases}\]
解得$x_4=0$，$x_2 = 1 - 2x_3$，$x_1 = -x_2 - x_3 = -1 + x_3$。令$x_3 = c$，则通解为：
\[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad c \in \mathbb{R}.\]
提示：注意自由变量的选择，通常选择非主元列对应的变量。
步骤 6/6
目标：求无穷多解的通解（情况2：a=2）
当$a=2$时，阶梯形为：
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & b+1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
对应方程组：
\[\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ x_2 + 2x_3 + x_4 = 1 \\ x_3 - x_4 = b+1 \end{cases}\]
解得$x_3 = b+1 + x_4$，$x_2 = 1 - 2(b+1 + x_4) - x_4 = -1 - 2b - 3x_4$，$x_1 = -x_2 - x_3 - x_4 = b + x_4$。令$x_4 = c$，则通解为：
\[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ -1-2b \\ b+1 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad c \in \mathbb{R}.\]
提示：注意回代时顺序，避免代数错误。
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