山西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
五、（15 分）
（1）给出二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 3 x_{i}^{2}+\sum_{\leq i<j \leq n} 2 x_{i} x_{j}$ 的矩阵，
（2）证明 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 3 x_{i}^{2}+\sum_{\leq i<j \leq n} 2 x_{i} x_{j}$ 为正定．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵元素
二次型 $f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n 3x_i^2+\sum_{1\le i
公式：二次型 $f=\sum_{i=1}^n a_{ii}x_i^2+2\sum_{1\le i
提示：注意交叉项系数要平分，不要忘记对称性。
步骤 2/6
目标：写出矩阵形式
因此，矩阵 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，主对角线元素均为 $3$，非对角线元素均为 $1$：
$$A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 3 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 3 \end{pmatrix}_{n\times n}.$$
提示：注意矩阵的维数 $n$ 是变量，不要写成固定数字。
步骤 3/6
目标：将矩阵分解为简单矩阵之和
将 $A$ 分解为 $A=2I+J$，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$J$ 是元素全为 $1$ 的 $n$ 阶矩阵。因为 $J$ 的每个元素都是 $1$，所以 $A$ 的主对角线 $2+1=3$，非对角线 $0+1=1$。
公式：$A=2I+J$
提示：分解时要确保每个元素对应正确。
步骤 4/6
目标：求矩阵 $J$ 的特征值
矩阵 $J$ 的秩为 $1$，且 $J$ 乘以全 $1$ 向量 $\mathbf{1}=(1,1,\dots,1)^T$ 得到 $n\mathbf{1}$，所以 $J$ 有一个特征值 $n$，对应的特征向量为 $\mathbf{1}$。由于 $J$ 的秩为 $1$，其余 $n-1$ 个特征值均为 $0$。
公式：$J\mathbf{1}=n\mathbf{1}$，$\mathrm{rank}(J)=1$
提示：注意 $J$ 的特征值 $0$ 的重数为 $n-1$。
步骤 5/6
目标：求矩阵 $A$ 的特征值
由于 $A=2I+J$，$A$ 的特征值等于 $2$ 加上 $J$ 的特征值。因此 $A$ 有一个特征值 $2+n$，其余 $n-1$ 个特征值均为 $2+0=2$。
公式：若 $\lambda$ 是 $J$ 的特征值，则 $2+\lambda$ 是 $A$ 的特征值。
提示：注意 $2I$ 只改变特征值，不改变特征向量。
步骤 6/6
目标：判断正定性
对于任意正整数 $n\ge 1$，$n+2>0$ 且 $2>0$，所以 $A$ 的所有特征值都大于 $0$。因此 $A$ 是正定矩阵，从而二次型 $f$ 是正定的。
公式：实对称矩阵正定当且仅当所有特征值大于 $0$。
提示：注意 $n$ 是正整数，$n+2$ 恒正。
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