山西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
四、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $P$ 上所有 $n$ 阶矩阵到数域 $P$ 上的线性函数，即对任意 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 和数 $k$ 都有
$$
f(A+B)=f(A)+f(B), f(k A)=k f(A)
$$
再设 $\displaystyle f(A B)=f(B A)$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(0)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle i \neq j$ ，则 $\displaystyle f\left(E_{\mathrm{ij}}\right)=0$ ．
（3）若 $\displaystyle i \neq j$ ，则 $\displaystyle f\left(E_{i i}\right)=f\left(E_{i j}\right)$ ．
（4）存在常数 $C$ ，使 $\displaystyle f(A)=C \cdot \operatorname{tr}(A)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明线性函数在零矩阵处的值为零
由线性性，$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$，两边减去$f(0)$得$f(0)=0$。
提示：注意线性函数定义中$f(0)=0$是基本性质，需从$f(0)=f(0+0)$推导。
步骤 2/5
目标：证明当$i\neq j$时$f(E_{ij})=0$
取$A=E_{ii}$，$B=E_{ij}$，则$AB=E_{ii}E_{ij}=E_{ij}$，$BA=E_{ij}E_{ii}=0$。由$f(AB)=f(BA)$得$f(E_{ij})=f(0)=0$。
公式：$E_{ii}E_{ij}=E_{ij}$，$E_{ij}E_{ii}=0$
提示：注意$E_{ij}$是矩阵单位，乘法规则：$E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}$。
步骤 3/5
目标：证明所有对角矩阵单位$E_{ii}$的函数值相等
取$A=E_{ij}$，$B=E_{ji}$（$i\neq j$），则$AB=E_{ij}E_{ji}=E_{ii}$，$BA=E_{ji}E_{ij}=E_{jj}$。由$f(AB)=f(BA)$得$f(E_{ii})=f(E_{jj})$。因此所有$f(E_{ii})$相等，记为$C$。
公式：$E_{ij}E_{ji}=E_{ii}$，$E_{ji}E_{ij}=E_{jj}$
提示：注意$i\neq j$，否则$E_{ii}E_{ii}=E_{ii}$，但$E_{ii}E_{ii}=E_{ii}$，不能得到相等关系。
步骤 4/5
目标：将任意矩阵表示为矩阵单位的线性组合
任意$n$阶矩阵$A=(a_{ij})$可表示为$A=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}$。
公式：$A=\sum_{i,j}a_{ij}E_{ij}$
提示：注意求和指标范围，$E_{ij}$是基矩阵。
步骤 5/5
目标：利用线性性计算$f(A)$
由线性性，$f(A)=\sum_{i,j}a_{ij}f(E_{ij})$。由(2)知当$i\neq j$时$f(E_{ij})=0$，由(3)知$f(E_{ii})=C$，故$f(A)=\sum_i a_{ii}C = C\sum_i a_{ii}=C\operatorname{tr}(A)$。
公式：$f(A)=C\operatorname{tr}(A)$
提示：注意$\operatorname{tr}(A)$是矩阵的迹，即对角线元素之和。
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