山西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
七、（15分）设非零矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 满足对所有 $\displaystyle j<n$ 都有 $\displaystyle a_{i j}=0$ ．
（1）若 $\displaystyle a_{n n} \neq 0$ ，求出 $A$ 的 Jordan标准型．
（2）若 $\displaystyle a_{n n} \neq 0$ ，求出 $A$ 的 Jordan标准型．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析矩阵结构
由条件“对所有 $j
提示：注意条件是对所有 $j
步骤 2/7
目标：确定矩阵的秩
由于前 $n-1$ 列全为零，最后一列非零（因为 $a_{nn}\neq 0$），所以矩阵 $A$ 的秩为 $1$。
提示：秩为1意味着零空间的维数为 $n-1$。
步骤 3/7
目标：求特征值
$A$ 是上三角矩阵，特征值即对角线元素。对角线元素为 $0$（$n-1$ 个）和 $a_{nn}$（1个）。因为 $a_{nn}\neq 0$，所以特征值为 $0$（$n-1$ 重）和 $a_{nn}$（单重）。
提示：上三角矩阵的特征值就是对角线元素。
步骤 4/7
目标：计算特征值0的几何重数
特征值 $0$ 的几何重数等于 $\dim\ker(A-0I)=\dim\ker A$。由于 $A$ 的秩为 $1$，零空间维数为 $n-1$，所以几何重数为 $n-1$，等于代数重数。
公式：$\dim\ker A = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：几何重数等于代数重数时，Jordan块均为1阶。
步骤 5/7
目标：计算特征值a_nn的几何重数
特征值 $a_{nn}$ 是单特征值，其几何重数至少为 $1$，且不超过代数重数 $1$，故几何重数为 $1$。
提示：单特征值对应的Jordan块必为1阶。
步骤 6/7
目标：确定Jordan标准型
由于所有特征值的几何重数均等于代数重数，每个特征值对应的Jordan块都是1阶的。因此 $A$ 的Jordan标准型是对角矩阵：
$$J=\operatorname{diag}(0,\dots,0,a_{nn})$$
其中 $0$ 有 $n-1$ 个。
提示：注意Jordan标准型中特征值的顺序可以任意排列。
步骤 7/7
目标：说明第（2）问
第（2）问条件与第（1）问相同，因此答案相同。
提示：题目可能笔误，但按给定条件解答即可。
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