山西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
三、（15分）求
$$
\partial_{1}=(0,0,0,1), \partial_{2}=(1,2,-1,1), \partial_{3}=(1,-2,-1,0), \partial_{4}=(-1,-2,1,1), \partial_{5}=(2,0,1,-1)
$$
的极大线性无关组．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造矩阵并交换行
将向量组按列排成矩阵 $A$：
$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$
交换第1行与第4行，使第1行第1列非零：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$
提示：注意向量按列排列，行变换对应向量组的线性关系。
步骤 2/8
目标：化简第2行
将第2行除以2，使主元为1：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$
提示：行倍乘变换不改变行空间，但注意不要误用列变换。
步骤 3/8
目标：消去第3、4行第2列
第3行加第2行，第4行减第2行：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
提示：注意加减运算的符号，避免计算错误。
步骤 4/8
目标：消去第4行第3列
第4行加第3行：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
提示：第3行第3列为-2，第4行第3列为2，相加得0。
步骤 5/8
目标：化简第3、4行主元
第3行除以-2，第4行除以3：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：分数运算要小心，保持精确。
步骤 6/8
目标：消去第3行第5列
第3行加第4行乘以1/2：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：注意第3行第5列原为-1/2，加上1/2得0。
步骤 7/8
目标：消去第2行第3列和第1行第2列
第2行加第3行：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
第1行减第2行：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：逐步消去，避免遗漏。
步骤 8/8
目标：消去第1行第5列得到行最简形
第1行加第4行：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
主元位于第1、2、3、5列，对应向量 $\partial_1, \partial_2, \partial_3, \partial_5$。因此极大线性无关组为 $\partial_1, \partial_2, \partial_3, \partial_5$。
提示：行最简形中主元列对应原向量组的极大无关组。
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