山西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
六、（30分）设 $V$ 是数域 $P$ 上所有 $\displaystyle 2 \times 3$ 矩阵组成的线性空间．
（1）给出 $V$ 的一组基，并证明．
（2）给出 $V$ 的两个子空间 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ ，使 $V$ 是它们直和并证明．
（3）给出 $V$ 的两个子空间 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ ，使 $V$ 是它们的和，但不是直和并证明．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定线性空间V的维数并构造基
数域P上所有2×3矩阵构成的线性空间V，其维数为2×3=6。构造6个矩阵：
$$E_{11}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, E_{12}=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}, E_{13}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix},$$
$$E_{21}=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}, E_{22}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}, E_{23}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
提示：注意基矩阵的索引顺序：第一个下标表示行，第二个表示列。
步骤 2/6
目标：证明构造的矩阵组是基
任意矩阵$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}\in V$可唯一表示为$A=\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^3 a_{ij}E_{ij}$。若存在系数$c_{ij}$使得$\sum_{i,j}c_{ij}E_{ij}=0$，则所有$c_{ij}=0$，故这6个矩阵线性无关。因此它们构成V的一组基。
公式：A = Σ a_{ij} E_{ij}
提示：唯一性由表示系数唯一确定，线性无关性由零矩阵系数全为零推出。
步骤 3/6
目标：构造两个子空间V1和V2使得V是它们的直和
令$V_1=\{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}\mid a,b,c\in P\}$，$V_2=\{\begin{pmatrix}0&0&0\\d&e&f\end{pmatrix}\mid d,e,f\in P\}$。则V1和V2都是V的子空间。
提示：V1是第一行任意、第二行为零的矩阵集合；V2是第一行为零、第二行任意的矩阵集合。
步骤 4/6
目标：证明V是V1和V2的直和
任意$A\in V$可唯一分解为$A=A_1+A_2$，其中$A_1$取A的第一行（第二行置零），$A_2$取A的第二行（第一行置零）。且$V_1\cap V_2=\{0\}$（因为同时属于V1和V2的矩阵必须第一行和第二行都为零）。因此$V=V_1\oplus V_2$。
公式：A = A_1 + A_2, A_1∈V1, A_2∈V2
提示：直和需要和等于V且交为零。
步骤 5/6
目标：构造两个子空间V1和V2使得V是它们的和但不是直和
令$V_1=\{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}\mid a,b,c\in P\}$，$V_2=V$（即所有2×3矩阵）。则$V_1+V_2=V$，但$V_1\cap V_2=V_1\neq\{0\}$，因此和不是直和。
提示：注意V2取整个空间V，则交非零，和等于V，满足非直和条件。
步骤 6/6
目标：证明V1和V2的和是V但不是直和
由于$V_2=V$，显然$V_1+V_2=V$。又因为$V_1$非零（例如$E_{11}\in V_1$），且$V_1\subseteq V_2$，所以$V_1\cap V_2=V_1\neq\{0\}$，故和不是直和。
提示：直和要求交为零，这里交非零，因此不是直和。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。