山西师范大学 2025年高等代数第0题

设原基为 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$，新基为 $\eta_1 = \varepsilon_1, \eta_2 = 2\varepsilon_2, \eta_3 = 3\varepsilon_3$。则过渡矩阵 $P$ 满足 $(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) P$，其中 $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。

线性变换 $\varphi$ 在原基下的矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix}$，则在新基下的矩阵为 $B = P^{-1} A P$。计算 $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$，于是 \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 2/3 & -2 & -1 \end{pmatrix}. \]

$\varphi$ 有3个1维不变子空间当且仅当 $\varphi$ 有3个线性无关的特征向量，即 $A$ 可对角化。因为每个1维不变子空间对应一个特征向量。

计算 $A$ 的特征多项式： \[ \det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-a & 0 \\ -2 & 3 & \lambda+1 \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-a)(\lambda+1). \] 特征值为 $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = a, \lambda_3 = -1$。

若 $a \neq 1$ 且 $a \neq -1$，则三个特征值互异，$A$ 可对角化，此时有3个1维不变子空间。

若 $a = 1$，则特征值为 $1$（二重）和 $-1$。检查 $\lambda=1$ 的几何重数：计算 $\operatorname{rank}(I-A) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix} = 2$，故几何重数为 $3-2=1$，小于代数重数2，不可对角化，此时只有2个1维不变子空间。

若 $a = -1$，则特征值为 $1$ 和 $-1$（二重）。检查 $\lambda=-1$ 的几何重数：计算 $\operatorname{rank}(-I-A) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \end{pmatrix} = 2$，几何重数为 $3-2=1$，小于代数重数2，不可对角化，此时也只有2个1维不变子空间。

因此，当且仅当 $a \neq 1$ 且 $a \neq -1$ 时，$\varphi$ 恰有3个1维不变子空间。