山西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3、（5 分）判断 $f(A)$ 是否可逆，并说明理由．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解问题背景
题目要求判断 $f(A)$ 是否可逆，但未给出具体的矩阵 $A$ 和函数 $f$。因此，我们需要从一般理论出发，给出判断条件。
提示：注意：题目可能缺失条件，但作为一般性解答，应给出理论依据。
步骤 2/7
目标：引入特征值条件
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$f(x)$ 是一个多项式或解析函数。则 $f(A)$ 可逆当且仅当 $f(\lambda) \neq 0$ 对于 $A$ 的每一个特征值 $\lambda$。
公式：$f(A)$ 可逆 $\iff$ $f(\lambda_i) \neq 0$ 对所有特征值 $\lambda_i$
提示：特征值条件是最核心的判别依据，但需注意 $f$ 的定义域包含 $A$ 的所有特征值。
步骤 3/7
目标：考虑可对角化情形
若 $A$ 可对角化，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，则 $f(A) = P f(\Lambda) P^{-1} = P \operatorname{diag}(f(\lambda_1), \dots, f(\lambda_n)) P^{-1}$。因此 $f(A)$ 可逆当且仅当每个 $f(\lambda_i) \neq 0$。
公式：$f(A) = P \operatorname{diag}(f(\lambda_1), \dots, f(\lambda_n)) P^{-1}$
提示：对角化时，$f(A)$ 的特征值就是 $f(\lambda_i)$，可逆性等价于特征值全非零。
步骤 4/7
目标：考虑不可对角化情形
若 $A$ 不可对角化，可考虑其 Jordan 标准形。设 $A = P J P^{-1}$，其中 $J$ 是 Jordan 形矩阵，每个 Jordan 块 $J_k(\lambda)$ 对应特征值 $\lambda$。则 $f(A) = P f(J) P^{-1}$，而 $f(J)$ 是分块对角矩阵，每个块 $f(J_k(\lambda))$ 可逆当且仅当 $f(\lambda) \neq 0$（因为 $f(J_k(\lambda))$ 是上三角矩阵，对角元均为 $f(\lambda)$）。因此整体可逆当且仅当对所有特征值 $\lambda$ 有 $f(\lambda) \neq 0$。
公式：$f(J_k(\lambda)) = \begin{pmatrix} f(\lambda) & f'(\lambda) & \cdots \\ 0 & f(\lambda) & \ddots \\ \vdots & \ddots & \ddots \end{pmatrix}$
提示：Jordan 块中 $f(J_k(\lambda))$ 的对角线元素均为 $f(\lambda)$，因此可逆性仅取决于 $f(\lambda)$ 是否为零。
步骤 5/7
目标：总结判断方法
综上所述，无论 $A$ 是否可对角化，$f(A)$ 可逆的充要条件是：$f(\lambda) \neq 0$ 对于 $A$ 的每一个特征值 $\lambda$。因此，要判断 $f(A)$ 是否可逆，需要知道 $A$ 的所有特征值以及 $f$ 在这些特征值上的取值。
提示：注意：若 $f$ 是多项式，则 $f(\lambda)=0$ 意味着 $\lambda$ 是 $f$ 的根；若 $f$ 是解析函数，需考虑其零点。
步骤 6/7
目标：举例说明
例如，若 $A$ 的特征值为 $1, -1$，$f(x)=x^2-1$，则 $f(1)=0$，$f(-1)=0$，故 $f(A)$ 不可逆。若 $f(x)=x+1$，则 $f(1)=2 \neq 0$，$f(-1)=0$，仍不可逆。若 $f(x)=x$，则 $f(1)=1 \neq 0$，$f(-1)=-1 \neq 0$，故 $f(A)=A$ 可逆（假设 $A$ 本身可逆）。
提示：举例时需注意 $f$ 的定义和 $A$ 的特征值。
步骤 7/7
目标：给出最终结论
由于题目未给出具体 $A$ 和 $f$，无法直接判断。但一般地，$f(A)$ 可逆当且仅当 $f(\lambda) \neq 0$ 对所有 $A$ 的特征值 $\lambda$ 成立。
提示：在考试中，若题目给出具体矩阵和函数，应计算特征值并检验条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。