山西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4、（5 分）判断 $f(B)$ 是否可逆，并说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题条件
题目未给出具体的矩阵 $B$ 和函数 $f$，因此无法直接计算。通常，$f(B)$ 表示矩阵函数，例如多项式函数 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k$，则 $f(B)=a_0I+a_1B+\cdots+a_kB^k$。
提示：注意：矩阵函数定义依赖于 $f$ 的具体形式，常见的是多项式函数或解析函数（通过幂级数定义）。
步骤 2/6
目标：利用特征值判断可逆性（一般方法）
对于多项式函数 $f$，$f(B)$ 可逆当且仅当 $f(\lambda_i)\neq 0$ 对 $B$ 的每个特征值 $\lambda_i$ 成立。理由：若 $B$ 可对角化，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}BP=\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，则 $P^{-1}f(B)P=f(\Lambda)=\operatorname{diag}(f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n))$，因此 $f(B)$ 可逆当且仅当每个 $f(\lambda_i)\neq0$。
公式：P^{-1}f(B)P = f(\Lambda) = \operatorname{diag}(f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n))
提示：对角化条件：$B$ 可对角化时结论成立，但即使不可对角化，该条件也是必要的。
步骤 3/6
目标：处理不可对角化的情况（Jordan标准形）
若 $B$ 不可对角化，可考虑其 Jordan 标准形 $J$，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}BP=J$，其中 $J$ 由 Jordan 块组成。对于 Jordan 块 $J(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}$，$f(J(\lambda))$ 是一个上三角矩阵，其对角线元素均为 $f(\lambda)$，因此 $f(J(\lambda))$ 可逆当且仅当 $f(\lambda)\neq0$。从而 $f(B)$ 可逆当且仅当对每个特征值 $\lambda$，$f(\lambda)\neq0$。
公式：f(J(\lambda)) = \begin{pmatrix} f(\lambda) & f'(\lambda) & \cdots & \frac{f^{(m-1)}(\lambda)}{(m-1)!} \\ & f(\lambda) & \ddots & \vdots \\ & & \ddots & f'(\lambda) \\ & & & f(\lambda) \end{pmatrix}
提示：注意：Jordan块对应的矩阵函数 $f(J(\lambda))$ 可逆的充要条件确实是 $f(\lambda)\neq0$，因为上三角矩阵可逆当且仅当对角线元素全非零。
步骤 4/6
目标：总结判断条件
综上所述，对于多项式函数 $f$，$f(B)$ 可逆当且仅当 $f(\lambda_i)\neq 0$ 对 $B$ 的每个特征值 $\lambda_i$ 成立。对于更一般的解析函数（如指数函数、三角函数等），若 $f$ 在 $B$ 的谱上有定义，则类似结论成立：$f(B)$ 可逆当且仅当 $f(\lambda_i)\neq 0$ 对所有特征值 $\lambda_i$ 成立。
提示：注意：对于非多项式函数，需确保 $f$ 在 $B$ 的谱上解析，且 $f(B)$ 的定义通常通过谱分解或幂级数。
步骤 5/6
目标：举例说明
例如，设 $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，$f(x)=x^2-3x+2$，则 $f(1)=1-3+2=0$，$f(2)=4-6+2=0$，故 $f(B)$ 不可逆。若 $f(x)=x-1$，则 $f(1)=0$，$f(2)=1\neq0$，由于存在特征值 $1$ 使 $f(1)=0$，故 $f(B)$ 不可逆。
提示：注意：只要有一个特征值使 $f(\lambda)=0$，$f(B)$ 就不可逆。
步骤 6/6
目标：最终答案
由于题目未给出具体 $B$ 和 $f$，无法直接判断。一般地，$f(B)$ 可逆当且仅当 $f(\lambda_i)\neq0$ 对 $B$ 的所有特征值 $\lambda_i$ 成立。
提示：注意：此结论对多项式函数和解析函数均成立。
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