山西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1、（4分）求 $\sigma$ 在基 $1, x, x^{2}$ 下矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与已知条件
题目要求求线性变换 $\sigma$ 在基 $1, x, x^2$ 下的矩阵。但题目未给出 $\sigma$ 的具体定义，因此无法直接计算。通常，线性变换 $\sigma$ 需要明确其作用，例如 $\sigma(p(x)) = p'(x)$ 或 $\sigma(p(x)) = xp(x)$ 等。
提示：注意：线性变换的定义是解题的关键，缺少定义则无法进行。
步骤 2/6
目标：明确线性变换的定义
假设题目中线性变换 $\sigma$ 有具体定义，例如 $\sigma(p(x)) = p'(x)$（求导变换）。则我们需要计算 $\sigma(1), \sigma(x), \sigma(x^2)$ 在基 $1, x, x^2$ 下的坐标。
公式：$\sigma(p(x)) = p'(x)$
提示：务必确认变换的定义，不同定义导致不同矩阵。
步骤 3/6
目标：计算基向量的像
对于求导变换：$\sigma(1) = 0$，$\sigma(x) = 1$，$\sigma(x^2) = 2x$。这些像需要用基 $1, x, x^2$ 线性表示。
公式：$\frac{d}{dx}1=0$, $\frac{d}{dx}x=1$, $\frac{d}{dx}x^2=2x$
提示：注意常数项求导为0。
步骤 4/6
目标：将像表示为基的线性组合
将每个像写成基向量的线性组合：$\sigma(1)=0\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2$，坐标向量为 $(0,0,0)^T$；$\sigma(x)=1\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2$，坐标为 $(1,0,0)^T$；$\sigma(x^2)=0\cdot1+2\cdot x+0\cdot x^2$，坐标为 $(0,2,0)^T$。
提示：坐标向量按基的顺序排列，注意系数对应。
步骤 5/6
目标：构造矩阵
将上述坐标向量作为列向量，按顺序排列得到矩阵 $A$：$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$A = [\sigma(1)]_B \; [\sigma(x)]_B \; [\sigma(x^2)]_B$
提示：矩阵的列对应基向量的像的坐标，顺序不可颠倒。
步骤 6/6
目标：验证结果
验证：对于任意多项式 $p(x)=a+bx+cx^2$，其坐标向量为 $(a,b,c)^T$，则 $\sigma(p(x))$ 的坐标应为 $A(a,b,c)^T = (b,2c,0)^T$，对应多项式 $b+2cx$，正是 $p'(x)$，正确。
公式：$A \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 2c \\ 0 \end{pmatrix}$
提示：验证可确保矩阵正确。
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