山西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2、（8分）求 $\sigma$ 的核的维数及一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确问题条件
题目要求求线性变换 $\sigma$ 的核的维数及一组基，但未给出 $\sigma$ 的具体定义。因此，无法直接求解。需要补充 $\sigma$ 的矩阵表示或作用规则。
提示：注意：线性变换的核定义为 $\ker(\sigma) = \{ \mathbf{v} \mid \sigma(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \}$。
步骤 2/5
目标：假设已知矩阵表示
假设 $\sigma$ 在标准基下的矩阵为 $A$，则求核的维数等价于求 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的解空间维数，即 $n - \operatorname{rank}(A)$。一组基可通过求解齐次线性方程组得到。
公式：$\dim\ker(\sigma) = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：核的维数等于自由变量的个数。
步骤 3/5
目标：求解齐次方程组
将矩阵 $A$ 化为行最简形，找出主元列和自由列。自由列对应的变量为自由变量，令自由变量取一组线性无关的向量（如标准基），回代得到基础解系，即核的一组基。
提示：基础解系中的向量个数等于自由变量个数。
步骤 4/5
目标：举例说明
例如，若 $\sigma$ 的矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$，则秩为1，核的维数为 $3-1=2$。解 $A\mathbf{x}=0$ 得基础解系 $\xi_1 = (-2,1,0)^T$, $\xi_2 = (-3,0,1)^T$，即为核的一组基。
提示：注意基础解系中的向量必须线性无关。
步骤 5/5
目标：总结一般步骤
一般步骤：1. 确定线性变换的矩阵表示；2. 计算矩阵的秩；3. 核的维数 = 定义域维数 - 秩；4. 解齐次方程组得到基础解系作为基。
提示：核的基不唯一，但维数唯一。
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