山西师范大学 2026年高等代数第0题

设线性变换 $\sigma: V \to W$，其中 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间。值域 $\operatorname{Im}\sigma = \{\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ 是 $W$ 的子空间。我们需要求 $\operatorname{Im}\sigma$ 的维数及一组基。通常，我们通过 $\sigma$ 在某个基下的矩阵 $A$ 来研究。

选取 $V$ 的一组基 $\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$ 和 $W$ 的一组基 $\{\beta_1,\dots,\beta_m\}$。则 $\sigma$ 在这两组基下的矩阵 $A$ 满足：$\sigma(\alpha_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij}\beta_i$，即 $A$ 的第 $j$ 列是 $\sigma(\alpha_j)$ 在 $\{\beta_i\}$ 下的坐标。

值域 $\operatorname{Im}\sigma$ 中的任意向量可表示为 $\sigma(\alpha)$，其中 $\alpha = \sum_{j=1}^n x_j\alpha_j$，则 $\sigma(\alpha) = \sum_{j=1}^n x_j \sigma(\alpha_j)$。因此 $\operatorname{Im}\sigma$ 等于 $\sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_n)$ 张成的子空间，即矩阵 $A$ 的列空间。

对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形。非零行的行数即为矩阵的秩 $r$。秩 $r$ 等于列空间的维数，也等于值域的维数。

值域的一组基可取为原矩阵 $A$ 的列向量组的极大无关组。具体地，在行最简形中，主元所在的列对应原矩阵中的列，这些列向量构成列空间的一组基。

例如，设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。对 $A$ 做行变换：已为行阶梯形，非零行2行，秩 $r=2$。主元在第1列和第2列，因此取 $A$ 的第1列 $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ 和第2列 $\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ 作为值域的一组基。

因此，值域 $\operatorname{Im}\sigma$ 的维数为 $r$（矩阵 $A$ 的秩），一组基为 $A$ 的列向量组的极大无关组。