山西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1、（5分）求 $D_{3}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确题目含义
由于题目只给出“求 $D_{3}$”，在高等代数中，$D_{3}$ 通常指3阶行列式或二面体群。考虑到分值为5分，常见的是计算3阶行列式，但未给出具体元素，无法计算。若指二面体群，则 $D_{3}$ 是3阶二面体群，即正三角形的对称群。
提示：注意题目可能不完整，需根据上下文判断 $D_{3}$ 的含义。
步骤 2/6
目标：假设为二面体群
假设 $D_{3}$ 指二面体群，则其定义如下：$D_{3} = \langle r, s \mid r^3 = s^2 = 1, srs = r^{-1} \rangle$，其中 $r$ 表示旋转 $120^\circ$，$s$ 表示反射。
公式：$r^3 = s^2 = 1$, $srs = r^{-1}$
提示：注意群的定义中生成元和关系。
步骤 3/6
目标：列出所有元素
根据群的定义，$D_{3}$ 的元素为：$\{1, r, r^2, s, sr, sr^2\}$，共6个元素。其中 $1$ 是单位元。
提示：注意 $sr$ 与 $r^2s$ 相同，但通常用 $sr$ 表示。
步骤 4/6
目标：确定群的阶
由于元素个数为6，所以 $D_{3}$ 的阶为6。
公式：$|D_{3}| = 6$
提示：阶数等于元素个数。
步骤 5/6
目标：给出群结构
$D_{3}$ 同构于对称群 $S_3$，即3个元素的置换群。其乘法表可由生成元关系推导。
公式：$D_{3} \cong S_3$
提示：注意 $D_{3}$ 是非交换群。
步骤 6/6
目标：总结答案
因此，若 $D_{3}$ 指二面体群，则其阶为6，元素为 $\{1, r, r^2, s, sr, sr^2\}$，同构于 $S_3$。
提示：若题目指行列式，需补充具体元素。
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