山西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2、（10 分）求 $D_{n}$ ，其中 $n \geq 4$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出行列式形式
设 $D_n = \begin{vmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{vmatrix}_{n \times n}$，其中 $a \neq b$。
提示：注意行列式的阶数为n，且所有对角元为a，非对角元为b。
步骤 2/5
目标：将第2列到第n列加到第1列
将第2列到第n列都加到第1列，得到
$$D_n = \begin{vmatrix} a+(n-1)b & b & b & \cdots & b \\ a+(n-1)b & a & b & \cdots & b \\ a+(n-1)b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a+(n-1)b & b & b & \cdots & a \end{vmatrix}.$$
公式：列变换：$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + \cdots + C_n$
提示：注意加的是所有其他列，共n-1个b，所以第一列每个元素变为a+(n-1)b。
步骤 3/5
目标：提取公因子
提取第1列的公因子 $a+(n-1)b$，得
$$D_n = [a+(n-1)b] \begin{vmatrix} 1 & b & b & \cdots & b \\ 1 & a & b & \cdots & b \\ 1 & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & b & b & \cdots & a \end{vmatrix}.$$
公式：行列式性质：若某列有公因子，可提出。
提示：提取公因子后，第一列全变为1。
步骤 4/5
目标：行变换化为上三角
将第1行乘以-1加到第2行至第n行，得
$$D_n = [a+(n-1)b] \begin{vmatrix} 1 & b & b & \cdots & b \\ 0 & a-b & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a-b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a-b \end{vmatrix}.$$
公式：行变换：$R_i \leftarrow R_i - R_1$，$i=2,\dots,n$
提示：注意第一行不变，其他行减去第一行后，第一列变为0，对角元变为a-b，非对角元变为0。
步骤 5/5
目标：计算上三角行列式
这是一个上三角行列式，对角线上元素为1和 $n-1$ 个 $a-b$，所以
$$D_n = [a+(n-1)b] \cdot 1 \cdot (a-b)^{n-1} = (a+(n-1)b)(a-b)^{n-1}.$$
公式：上三角行列式等于对角线上元素的乘积。
提示：注意第一行第一列是1，不是a-b，所以乘积为1乘以(a-b)的n-1次方。
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