山西师范大学 2026年高等代数第0题

矩阵 $tE - A$ 正定当且仅当它的所有特征值大于0。设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，则 $tE - A$ 的特征值为 $t - \lambda_i$。因此，$tE - A$ 正定等价于 $t - \lambda_i > 0$ 对所有 $i$ 成立，即 $t > \max_i \lambda_i$。

由 $t > \lambda_{\max}$，其中 $\lambda_{\max} = \max_i \lambda_i$。最小正整数 $t$ 是大于 $\lambda_{\max}$ 的最小整数，即 $t = \lfloor \lambda_{\max} \rfloor + 1$，其中 $\lfloor \cdot \rfloor$ 表示向下取整。

由于题目未给出 $A$ 的具体形式，假设 $A$ 是已知矩阵。需要先求出 $A$ 的所有特征值，通常通过解特征方程 $\det(\lambda I - A)=0$ 得到。例如，若 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，则特征方程为 $\det\begin{pmatrix} \lambda-2 & -1 \\ -1 & \lambda-2 \end{pmatrix} = (\lambda-2)^2 - 1 = 0$，解得 $\lambda_1=1, \lambda_2=3$。

从求得的特征值中找出最大值 $\lambda_{\max}$。在例子中，$\lambda_{\max}=3$。

将 $\lambda_{\max}=3$ 代入公式 $t = \lfloor \lambda_{\max} \rfloor + 1$，得 $t = \lfloor 3 \rfloor + 1 = 3+1=4$。因此最小正整数 $t=4$。

验证 $t=4$ 时 $tE-A$ 是否正定。计算 $4E-A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$，其特征值为 $4-1=3$ 和 $4-3=1$，均大于0，故正定。若 $t=3$，则 $3E-A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$，特征值为 $3-1=2$ 和 $3-3=0$，不正定。