山西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1、（5 分）矩阵 $A A^{T}$ 的秩等于矩阵 $A$ 的秩．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定矩阵与秩
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，秩为 $r$，即 $\operatorname{rank}(A) = r$。
提示：注意矩阵的维度，$A$ 不一定是方阵。
步骤 2/6
目标：证明 rank(AA^T) ≤ rank(A)
由矩阵乘法性质，$AA^T$ 的列向量是 $A$ 的列向量的线性组合，因此 $AA^T$ 的列空间包含于 $A$ 的列空间，故 $\operatorname{rank}(AA^T) \leq \operatorname{rank}(A)$。
提示：注意列空间包含关系：$C(AA^T) \subseteq C(A)$。
步骤 3/6
目标：考虑齐次方程组同解
考虑齐次线性方程组 $A^T x = 0$ 与 $AA^T x = 0$。若 $A^T x = 0$，则显然 $AA^T x = 0$。反之，若 $AA^T x = 0$，则 $x^T AA^T x = (A^T x)^T (A^T x) = \|A^T x\|^2 = 0$，故 $A^T x = 0$。因此两个方程组同解。
公式：$x^T AA^T x = \|A^T x\|^2$
提示：注意 $x^T AA^T x = (A^T x)^T (A^T x)$ 是向量内积，非负且为零当且仅当向量为零。
步骤 4/6
目标：由同解得秩相等
由于两个方程组同解，解空间维数相同，即 $n - \operatorname{rank}(A^T) = n - \operatorname{rank}(AA^T)$，因此 $\operatorname{rank}(A^T) = \operatorname{rank}(AA^T)$。
提示：解空间维数等于 $n$ 减去系数矩阵的秩。
步骤 5/6
目标：利用转置秩相等
已知 $\operatorname{rank}(A^T) = \operatorname{rank}(A)$，代入得 $\operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}(A)$。
公式：$\operatorname{rank}(A^T) = \operatorname{rank}(A)$
提示：矩阵转置不改变秩。
步骤 6/6
目标：综合结论
由步骤2和步骤5，得到 $\operatorname{rank}(AA^T) \leq \operatorname{rank}(A)$ 且 $\operatorname{rank}(AA^T) \geq \operatorname{rank}(A)$，故 $\operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}(A)$。
提示：注意不等式方向，最终相等。
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