山西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2、（5 分）矩阵 $\binom{A}{B A}$ 的秩等于矩阵 $A$ 的秩的 2 倍．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目条件
设矩阵 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $m \times m$ 矩阵。考虑分块矩阵 $M = \begin{pmatrix} A \\ BA \end{pmatrix}$，这是一个 $2m \times n$ 矩阵。我们需要判断 $\operatorname{rank}(M) = 2 \operatorname{rank}(A)$ 是否成立。
提示：注意矩阵的维度，确保分块有意义。
步骤 2/5
目标：考察行空间关系
$M$ 的行空间由 $A$ 的行和 $BA$ 的行生成。由于 $BA$ 的每一行是 $A$ 的行向量的线性组合（系数由 $B$ 的行给出），所以 $BA$ 的行空间包含在 $A$ 的行空间中。因此，$M$ 的行空间等于 $A$ 的行空间，从而 $\operatorname{rank}(M) \leq \operatorname{rank}(A)$。
提示：注意线性组合的方向：$BA$ 的行是 $A$ 的行的线性组合，而不是列。
步骤 3/5
目标：构造反例
取 $A = I_n$（$n$ 阶单位矩阵），$B = I_m$（$m$ 阶单位矩阵），则 $M = \begin{pmatrix} I_n \\ I_n \end{pmatrix}$。显然 $\operatorname{rank}(M) = n$，而 $2 \operatorname{rank}(A) = 2n$，两者不相等。因此原命题不成立。
提示：反例中 $m$ 应等于 $n$ 以保证矩阵乘法有意义，这里取 $m=n$。
步骤 4/5
目标：指出正确命题
常见的正确命题是：分块对角矩阵 $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}$ 的秩等于 $2 \operatorname{rank}(A)$，因为分块对角矩阵的秩等于各块秩之和。
公式：\operatorname{rank}\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(A) = 2 \operatorname{rank}(A)
提示：注意分块对角矩阵与上下拼接矩阵的区别。
步骤 5/5
目标：总结
原题中的矩阵 $\binom{A}{BA}$ 的秩一般不等于 $2 \operatorname{rank}(A)$，除非 $B$ 满足特殊条件（如 $B$ 可逆且 $A$ 行满秩等），但题目未给出。因此原命题错误。
提示：在解题时，若遇到类似命题，应先验证是否成立，避免盲目证明。
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