山西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3、（5 分）矩阵 $\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ B A & A A^{T}\end{array}\right)$ 的秩等于矩阵 $A$ 的秩的 2 倍．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定矩阵与秩的记号
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $m \times m$ 矩阵。则 $M = \begin{pmatrix} A & 0 \\ BA & AA^T \end{pmatrix}$ 是 $2m \times 2n$ 矩阵。记 $r = \operatorname{rank}(A)$。
提示：注意 $A$ 不一定可逆，$B$ 是任意矩阵。
步骤 2/5
目标：利用秩的恒等式 $\operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}(A)$
由于 $AA^T$ 是 $m \times m$ 矩阵，且 $\operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}(A)$（因为 $A$ 与 $AA^T$ 有相同的零空间，或通过奇异值分解）。
公式：\operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}(A)
提示：该等式对实矩阵成立，若为复数域则用 $AA^*$。
步骤 3/5
目标：对 $M$ 进行分块初等变换化为块对角形
对 $M$ 左乘可逆矩阵 $\begin{pmatrix} I & 0 \\ -B & I \end{pmatrix}$，得
$$ \begin{pmatrix} I & 0 \\ -B & I \end{pmatrix} M = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & AA^T \end{pmatrix}. $$
由于左乘可逆矩阵不改变秩，所以 $\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & AA^T \end{pmatrix}$。
公式：\begin{pmatrix} I & 0 \\ -B & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & 0 \\ BA & AA^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & AA^T \end{pmatrix}
提示：注意分块乘法时，$I$ 是 $m$ 阶单位阵。
步骤 4/5
目标：计算块对角矩阵的秩
块对角矩阵 $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & AA^T \end{pmatrix}$ 的秩等于 $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(AA^T)$，因为两个块的行列独立。
公式：\operatorname{rank}\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & AA^T \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(AA^T)
提示：块对角矩阵的秩等于各块秩之和，前提是块的行列互不干扰。
步骤 5/5
目标：代入秩的关系得到结论
由 $\operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}(A) = r$，得 $\operatorname{rank}(M) = r + r = 2r = 2 \operatorname{rank}(A)$。
公式：\operatorname{rank}(M) = 2 \operatorname{rank}(A)
提示：注意 $A$ 可能不是方阵，但 $AA^T$ 是方阵，秩相等。
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