山西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4、（5 分）举出两个 2 阶矩阵 $A, B$ 使 $A$ 秩 $=1$ ，且 $\left(\begin{array}{cc}A & B A \\ 0 & A A^{T}\end{array}\right)$ 的秩是 3 ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设定A的形式
由于$A$是2阶矩阵且秩为1，可设$A = uv^T$，其中$u, v \in \mathbb{R}^2$是非零列向量。例如，取$u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，则$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。但为了后续构造，我们选择更一般的形式。
公式：A = uv^T
提示：注意秩1矩阵可以表示为列向量乘行向量，但不同选择会影响后续计算。
步骤 2/8
目标：尝试第一个例子
取$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则$A$秩为1。计算$AA^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：AA^T = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：计算矩阵乘法时注意维度。
步骤 3/8
目标：选择B并计算BA
取$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，则$BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
提示：注意矩阵乘法顺序。
步骤 4/8
目标：构造分块矩阵并求秩
分块矩阵$M = \begin{pmatrix} A & BA \\ 0 & AA^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。行简化：第一行$(1,1,0,0)$，第二行$(0,0,1,1)$，第三行$(0,0,2,0)$，第四行全零。第二行与第三行线性无关，前三行线性无关，故秩为3。
提示：判断线性无关时，注意第三行不是第二行的倍数。
步骤 5/8
目标：尝试第二个例子
取$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，则$A$秩为1。计算$AA^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：AA^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
提示：注意转置的正确计算。
步骤 6/8
目标：选择B并计算BA
取$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则$BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：注意矩阵乘法顺序。
步骤 7/8
目标：构造分块矩阵并求秩
分块矩阵$M = \begin{pmatrix} A & BA \\ 0 & AA^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。行简化：第二行减去第一行得$(0,0,-1,0)$，第一行不变，第三行$(0,0,1,1)$，第四行与第三行相同。前三行线性无关，故秩为3。
提示：注意行简化后，第三行与第四行相同，但前三行无关。
步骤 8/8
目标：给出最终答案
两个满足条件的矩阵对：
1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$；
2. $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：答案不唯一，只要满足秩条件即可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。