广东工业大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
1、已知实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+a x_{2}{ }^{2}-2 x_{3}{ }^{2}+b x_{1} x_{3}(b>0)$ ，其中二次型的矩阵 $A$的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+ax_2^2-2x_3^2+bx_1x_3$ 对应的矩阵 $A$ 为对称矩阵，其中 $x_i^2$ 的系数放在对角线上，$x_ix_j$ 的系数的一半放在 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 位置。因此 $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{b}{2} \\ 0 & a & 0 \\ \frac{b}{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$。
公式：二次型矩阵的构造规则
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵是对称的。
步骤 2/5
目标：利用特征值之和求a
特征值之和等于矩阵的迹，即 $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 = \operatorname{tr}(A) = 1 + a - 2 = a-1$。已知特征值之和为1，所以 $a-1=1$，解得 $a=2$。
公式：$\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A)$
提示：迹是对角线元素之和，不要漏掉负号。
步骤 3/5
目标：计算矩阵的行列式
将 $a=2$ 代入矩阵，得 $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{b}{2} \\ 0 & 2 & 0 \\ \frac{b}{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$。计算行列式：
$\det(A) = 1\cdot\begin{vmatrix}2&0\\0&-2\end{vmatrix} - 0 + \frac{b}{2}\cdot\begin{vmatrix}0&2\\\frac{b}{2}&0\end{vmatrix} = 1\cdot(-4) + \frac{b}{2}\cdot\left(0-2\cdot\frac{b}{2}\right) = -4 + \frac{b}{2}\cdot(-b) = -4 - \frac{b^2}{2}$。
公式：行列式的展开公式
提示：按第一行展开时，注意符号和子式。
步骤 4/5
目标：利用特征值之积求b
特征值之积等于矩阵的行列式，即 $\lambda_1\lambda_2\lambda_3 = \det(A) = -4 - \frac{b^2}{2}$。已知特征值之积为-12，所以 $-4 - \frac{b^2}{2} = -12$，解得 $b^2=16$。由 $b>0$ 得 $b=4$。
公式：$\prod \lambda_i = \det(A)$
提示：注意 $b>0$ 的条件，舍去负根。
步骤 5/5
目标：总结答案
因此 $a=2$，$b=4$。
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