📝 广东工业大学 2025年高等代数真题

1、已知实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+a x_{2}{ }^{2}-2 x_{3}{ }^{2}+b x_{1} x_{3}(b>0)$ ，其中二次型的矩阵 $A$的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

2、若矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right)$ 不可逆，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

3、设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ ，对矩阵 $A$ 的最小多项式 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

4、已知 $n$ 阶方阵 $A, B$ 都可逆，且 $X=\left(\begin{array}{ll}O & B \\ A & O\end{array}\right)$ ，则 $X^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

5、设 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $T$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right)$则 $T$ 在基 $\varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{1}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

1、计算 $D=\left|\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & 0 & 0 & 0 & x_{3} \\ a_{1} & b_{1} & 1 & 1 & 1 & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & c_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & 0 & 0 & 0 & x_{3}^{2}\end{array}\right|$ ．

2、讨论 $k$ 为何值时，方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-x_{3}=-1 \\ 2 x_{1}+k x_{2}+x_{3}=-2 \text { 无解，有唯一解，并在无穷多解时 } \\ k x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=-2\end{array}\right.$求出，其全部解．

3、设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ，
（1）求 $A$ 的全部特征值．
（2）对 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ ，求属于特征值 $\lambda$ 的特征子空间的维数和一组基．
（3）求正交矩阵 $P$ ，使 $P^{\top} A P$ 是对角阵，并写出此对角阵．

4、设 $V$ 为数域 $R$ 上的 4 维空间向量，$a_{1}=(0,1,2,1), a_{2}=(1,-1,1,1), a_{3}=(1,2,-1,0)$ ． $a_{4}=(7,1,-1,3)$ 的子空间 $V_{1}=L\left(\alpha_{1}, a_{2}\right), V_{2}=L\left(a_{3}, a_{4}\right)$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 和 $V_{1} \cap V_{2}$ 的基和维数．

5、设 $V$ 为数域 $V$ 上的 4 维线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，求 $\sigma$ 的基 $\varepsilon_{1}$ 的最小不变子空间 $W$ 。

1、已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ．
（1）证明当 $n \geq 3$ 时，有 $A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵。
（2）求 $A^{100}$ ．

2、证明：数域 $P$ 上的一元多项式组成的线性空间，$P[x]$ 可以与它的一个真子集空间同构。

三、证明题（每小题 20 分，共 40 分）

二、计算题（每小题 16 分，共 80 分）