广东工业大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
1、计算 $D=\left|\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & 0 & 0 & 0 & x_{3} \\ a_{1} & b_{1} & 1 & 1 & 1 & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & c_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & 0 & 0 & 0 & x_{3}^{2}\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：观察行列式结构
行列式 $D$ 为6阶，其中第3、4、5列除了第3、4、5行外，其余元素均为0。因此可以考虑使用拉普拉斯展开，按第3、4、5列展开。
提示：注意非零元素的位置，只有第3、4、5行在第3、4、5列有非零元素，其他行对应列为0。
步骤 2/8
目标：确定展开的子式
按第3、4、5列展开，选取的子式由第3、4、5行和第3、4、5列交叉元素构成，即
\[ M = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{vmatrix} \]
这是一个范德蒙行列式。
公式：范德蒙行列式公式
提示：确保子式对应的行和列索引正确。
步骤 3/8
目标：计算子式M
范德蒙行列式的结果为
\[ M = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) \]
公式：\prod_{1 \le i < j \le 3} (x_j - x_i)
提示：注意顺序，通常为后减前。
步骤 4/8
目标：确定余子式
余子式由剩余的行（1,2,6行）和剩余的列（1,2,6列）构成，即
\[ N = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{vmatrix} \]
这也是一个范德蒙行列式。
提示：注意余子式的行和列索引：行1,2,6；列1,2,6。
步骤 5/8
目标：计算余子式N
同样，范德蒙行列式的结果为
\[ N = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) \]
公式：\prod_{1 \le i < j \le 3} (x_j - x_i)
提示：与M相同。
步骤 6/8
目标：确定符号
拉普拉斯展开的符号为 $(-1)^{(i_1+\cdots+i_k)+(j_1+\cdots+j_k)}$，其中 $i_1,\dots,i_k$ 为子式行指标，$j_1,\dots,j_k$ 为子式列指标。这里 $i_1=3,i_2=4,i_3=5$，$j_1=3,j_2=4,j_3=5$，和为 $(3+4+5)+(3+4+5)=24$，$(-1)^{24}=1$，符号为正。
公式：符号公式 $(-1)^{\sum i + \sum j}$
提示：注意行和列指标的和的奇偶性。
步骤 7/8
目标：计算原行列式
原行列式等于子式与余子式的乘积再乘以符号，即
\[ D = M \cdot N = [(x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)]^2 \]
提示：注意是乘积，不是相加。
步骤 8/8
目标：整理结果
最终结果为
\[ D = (x_2 - x_1)^2 (x_3 - x_1)^2 (x_3 - x_2)^2 \]
提示：平方形式，注意因式分解的完整性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。