广东工业大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2、讨论 $k$ 为何值时，方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-x_{3}=-1 \\ 2 x_{1}+k x_{2}+x_{3}=-2 \text { 无解，有唯一解，并在无穷多解时 } \\ k x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=-2\end{array}\right.$求出，其全部解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将方程组写成矩阵形式
将方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-x_{3}=-1 \\ 2 x_{1}+k x_{2}+x_{3}=-2 \\ k x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=-2\end{array}\right.$ 写成矩阵形式 $Ax = b$，其中系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & k & 1 \\ k & 2 & -1 \end{pmatrix}$，未知向量 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$，常数向量 $b = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$。
公式：Ax = b
提示：注意矩阵与方程组对应位置的正确性，特别是第三行 $k x_1 + 2 x_2 - x_3 = -2$ 对应矩阵第三行。
步骤 2/7
目标：计算系数矩阵的行列式
计算 $\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & k & 1 \\ k & 2 & -1 \end{vmatrix}$。按第一行展开：$= 1 \cdot \begin{vmatrix} k & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ k & -1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & k \\ k & 2 \end{vmatrix}$。计算各二阶行列式：$\begin{vmatrix} k & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -k - 2$，$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ k & -1 \end{vmatrix} = -2 - k$，$\begin{vmatrix} 2 & k \\ k & 2 \end{vmatrix} = 4 - k^2$。代入得 $\det(A) = (-k-2) - (-2-k) + (-1)(4-k^2) = -k-2+2+k-4+k^2 = k^2-4 = (k-2)(k+2)$。
公式：\det(A) = (k-2)(k+2)
提示：展开行列式时注意符号，尤其是第三项 $(-1) \cdot (4-k^2)$ 不要漏掉负号。
步骤 3/7
目标：讨论唯一解的情况
当 $\det(A) \neq 0$，即 $k \neq 2$ 且 $k \neq -2$ 时，系数矩阵可逆，方程组有唯一解。
提示：注意 $\det(A)=0$ 是可能无解或无穷多解的必要条件，但非充分条件。
步骤 4/7
目标：讨论 k=2 时的情况
当 $k=2$ 时，系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$，增广矩阵 $(A|b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$。进行初等行变换：$R_2-2R_1, R_3-2R_1$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，交换 $R_2$ 与 $R_3$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}$，$R_3-3R_2$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。秩 $r(A)=r(A|b)=2<3$，方程组有无穷多解。
提示：行变换时注意不要出错，特别是第三行变换后得到全零行，表明秩为2。
步骤 5/7
目标：求解 k=2 时的全部解
由行最简形得 $x_3=0$，$x_1+x_2=-1$。令 $x_2=t$（$t$ 为自由参数），则 $x_1=-1-t$，$x_3=0$。全部解为 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$。
提示：自由参数的选择要正确，通常取自由变量为参数，注意解向量的形式。
步骤 6/7
目标：讨论 k=-2 时的情况
当 $k=-2$ 时，系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$，增广矩阵 $(A|b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$。进行初等行变换：$R_2-2R_1, R_3+2R_1$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -4 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & -3 & -4 \end{pmatrix}$，$R_3+R_2$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$。第三行对应 $0=-4$，矛盾，所以方程组无解。
提示：注意行变换时第三行加第二行后得到矛盾方程，表明无解。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上所述：当 $k \neq 2$ 且 $k \neq -2$ 时，方程组有唯一解；当 $k=2$ 时，方程组有无穷多解，全部解为 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}$；当 $k=-2$ 时，方程组无解。
提示：注意区分三种情况，不要遗漏。
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