广东工业大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
5、设 $V$ 为数域 $V$ 上的 4 维线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，求 $\sigma$ 的基 $\varepsilon_{1}$ 的最小不变子空间 $W$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确问题与初始向量
设 $V$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的 4 维线性空间，$\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4$ 下的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。包含 $\varepsilon_1$ 的最小 $\sigma$-不变子空间 $W$ 由 $\varepsilon_1$ 及其像生成：$W = \operatorname{span}\{\varepsilon_1, \sigma(\varepsilon_1), \sigma^2(\varepsilon_1), \dots\}$。
提示：注意最小不变子空间的定义：包含给定向量且对 $\sigma$ 封闭的最小子空间。
步骤 2/7
目标：计算 $\sigma(\varepsilon_1)$
将 $\varepsilon_1$ 的坐标 $(1,0,0,0)^T$ 左乘矩阵 $A$：
$$\sigma(\varepsilon_1) = A \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix} = \varepsilon_1 + \varepsilon_3.$$
公式：$\sigma(\alpha) = A \alpha$
提示：注意矩阵乘法中坐标向量的顺序。
步骤 3/7
目标：计算 $\sigma^2(\varepsilon_1)$
将 $\sigma(\varepsilon_1)$ 的坐标 $(1,0,1,0)^T$ 左乘矩阵 $A$：
$$\sigma^2(\varepsilon_1) = A \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot0+1\cdot1+0\cdot0\\0\cdot1+1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0\\1\cdot1+3\cdot0+0\cdot1+0\cdot0\\0\cdot1+4\cdot0+2\cdot1+1\cdot0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\0\\1\\2\end{pmatrix} = 2\varepsilon_1 + \varepsilon_3 + 2\varepsilon_4.$$
提示：计算时注意矩阵元素与坐标的对应。
步骤 4/7
目标：计算 $\sigma^3(\varepsilon_1)$
将 $\sigma^2(\varepsilon_1)$ 的坐标 $(2,0,1,2)^T$ 左乘矩阵 $A$：
$$\sigma^3(\varepsilon_1) = A \begin{pmatrix}2\\0\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot0+1\cdot1+0\cdot2\\0\cdot2+1\cdot0+0\cdot1+0\cdot2\\1\cdot2+3\cdot0+0\cdot1+0\cdot2\\0\cdot2+4\cdot0+2\cdot1+1\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\0\\2\\4\end{pmatrix} = 3\varepsilon_1 + 2\varepsilon_3 + 4\varepsilon_4.$$
提示：继续计算直到发现线性关系。
步骤 5/7
目标：判断向量的线性相关性
将 $\varepsilon_1, \sigma(\varepsilon_1), \sigma^2(\varepsilon_1), \sigma^3(\varepsilon_1)$ 的坐标向量作为列构成矩阵：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}.$$
观察第2行全零，说明这些向量不含 $\varepsilon_2$ 分量。考虑第1、3、4行构成的子矩阵：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}.$$
前三列的行列式为 $\begin{vmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&0&2\end{vmatrix}=2\neq0$，故 $v_0, v_1, v_2$ 线性无关。而 $v_3$ 可由 $v_0, v_2$ 线性表示：解方程组得 $v_3 = -v_0 + 2v_2$。因此 $\dim W = 3$，且 $W = \operatorname{span}\{\varepsilon_1, \sigma(\varepsilon_1), \sigma^2(\varepsilon_1)\}$。
提示：线性无关性判断可通过计算行列式或化为阶梯形。
步骤 6/7
目标：化简生成元得到基
由 $\varepsilon_1$ 和 $\sigma(\varepsilon_1)=\varepsilon_1+\varepsilon_3$ 可得 $\varepsilon_3$ 在 $W$ 中；再由 $\sigma^2(\varepsilon_1)=2\varepsilon_1+\varepsilon_3+2\varepsilon_4$ 减去 $2\varepsilon_1$ 和 $\varepsilon_3$ 得 $2\varepsilon_4$，故 $\varepsilon_4$ 也在 $W$ 中。因此 $W = \operatorname{span}\{\varepsilon_1, \varepsilon_3, \varepsilon_4\}$。
提示：注意基的选取不唯一，但维数固定。
步骤 7/7
目标：总结结果
包含 $\varepsilon_1$ 的最小 $\sigma$-不变子空间 $W$ 是由 $\varepsilon_1, \varepsilon_3, \varepsilon_4$ 生成的子空间，即 $W = \operatorname{span}\{\varepsilon_1, \varepsilon_3, \varepsilon_4\}$。
提示：验证 $\sigma$ 将 $W$ 中的向量映到 $W$ 中：$\sigma(\varepsilon_1)=\varepsilon_1+\varepsilon_3$，$\sigma(\varepsilon_3)=?$ 实际上 $\sigma(\varepsilon_3)=A$ 的第3列 $=(1,0,0,2)^T = \varepsilon_1+2\varepsilon_4$，$\sigma(\varepsilon_4)=A$ 的第4列 $=(0,0,0,1)^T = \varepsilon_4$，均在 $W$ 中。
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