广东工业大学 2025年高等代数第0题

计算矩阵 $A$ 的特征多项式 $\det(\lambda I - A)$。 $$\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda+1 & 2 & -6 \\ 1 & \lambda & -3 \\ 1 & 1 & \lambda-4 \end{pmatrix}$$ 按第一行展开行列式： $$\begin{vmatrix} \lambda+1 & 2 & -6 \\ 1 & \lambda & -3 \\ 1 & 1 & \lambda-4 \end{vmatrix} = (\lambda+1) \begin{vmatrix} \lambda & -3 \\ 1 & \lambda-4 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & \lambda-4 \end{vmatrix} + (-6) \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ 计算各子式： $$\begin{vmatrix} \lambda & -3 \\ 1 & \lambda-4 \end{vmatrix} = \lambda(\lambda-4) - (-3)(1) = \lambda^2 - 4\lambda + 3$$ $$\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & \lambda-4 \end{vmatrix} = 1(\lambda-4) - (-3)(1) = \lambda - 1$$ $$\begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - \lambda \cdot 1 = 1 - \lambda$$ 代入并化简： $$(\lambda+1)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) - 2(\lambda - 1) - 6(1 - \lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 + 3\lambda - 1 = (\lambda - 1)^3$$

由特征多项式 $(\lambda - 1)^3$ 可知，矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda = 1$（三重根）。

由于特征值只有 $1$，最小多项式必为 $(\lambda - 1)^k$ 的形式，其中 $1 \le k \le 3$。需要确定最小的 $k$ 使得 $(A - I)^k = 0$。

计算 $A - I$： $$A - I = \begin{pmatrix} -1-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0-1 & 3 \\ -1 & -1 & 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 6 \\ -1 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

计算 $(A - I)^2$： $$(A - I)^2 = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 6 \\ -1 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -2 & 6 \\ -1 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 计算第一行第一列：$(-2)(-2) + (-2)(-1) + 6(-1) = 4 + 2 - 6 = 0$ 类似地，所有元素均为0，因此 $(A - I)^2 = 0$。

由于 $(A - I)^2 = 0$ 但 $(A - I) \neq 0$（因为 $A - I$ 非零矩阵），所以最小多项式为 $(\lambda - 1)^2$。即 $f(x) = (x-1)^2$。