广东工业大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
4、已知 $n$ 阶方阵 $A, B$ 都可逆，且 $X=\left(\begin{array}{ll}O & B \\ A & O\end{array}\right)$ ，则 $X^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设逆矩阵形式
设 $X^{-1} = \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix}$，其中 $P, Q, R, S$ 均为 $n$ 阶方阵。
提示：注意分块矩阵的维度匹配，每个子块都是 $n \times n$ 矩阵。
步骤 2/7
目标：写出乘积方程
计算 $X X^{-1}$：
$$\begin{pmatrix} O & B \\ A & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B R & B S \\ A P & A Q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_n & O \\ O & I_n \end{pmatrix}.$$
公式：分块矩阵乘法：$\begin{pmatrix} O & B \\ A & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O P + B R & O Q + B S \\ A P + O R & A Q + O S \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B R & B S \\ A P & A Q \end{pmatrix}$
提示：注意 $O$ 是零矩阵，乘法时不要遗漏。
步骤 3/7
目标：建立方程组
由分块矩阵相等得四个方程：
$$\begin{cases} B R = I_n, \\ B S = O, \\ A P = O, \\ A Q = I_n. \end{cases}$$
提示：注意每个方程都是 $n \times n$ 矩阵等式。
步骤 4/7
目标：求解第一个方程
由 $B R = I_n$，且 $B$ 可逆，左乘 $B^{-1}$ 得 $R = B^{-1}$。
公式：若 $B$ 可逆，则 $B R = I_n \Rightarrow R = B^{-1}$
提示：注意左乘和右乘的区别，这里左乘 $B^{-1}$。
步骤 5/7
目标：求解第二个方程
由 $B S = O$，且 $B$ 可逆，左乘 $B^{-1}$ 得 $S = O$。
公式：若 $B$ 可逆，则 $B S = O \Rightarrow S = O$
提示：可逆矩阵乘零矩阵得零矩阵，但反过来不一定，这里利用可逆性直接得到 $S=O$。
步骤 6/7
目标：求解第三和第四个方程
由 $A P = O$，且 $A$ 可逆，左乘 $A^{-1}$ 得 $P = O$。由 $A Q = I_n$，左乘 $A^{-1}$ 得 $Q = A^{-1}$。
公式：若 $A$ 可逆，则 $A P = O \Rightarrow P = O$，$A Q = I_n \Rightarrow Q = A^{-1}$
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 的位置，与 $R$ 和 $S$ 类似。
步骤 7/7
目标：写出逆矩阵
将求得的子块代入 $X^{-1}$ 得：
$$X^{-1} = \begin{pmatrix} O & A^{-1} \\ B^{-1} & O \end{pmatrix}.$$
提示：注意 $A^{-1}$ 和 $B^{-1}$ 的位置：左上角是 $O$，右上角是 $A^{-1}$，左下角是 $B^{-1}$，右下角是 $O$。
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