广东工业大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2、证明：数域 $P$ 上的一元多项式组成的线性空间，$P[x]$ 可以与它的一个真子集空间同构。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义映射
定义映射 $\varphi: P[x] \to P[x]$，使得对任意多项式 $f(x) \in P[x]$，有 $\varphi(f(x)) = f(x^2)$。
公式：$\varphi(f(x)) = f(x^2)$
提示：注意映射的像 $f(x^2)$ 是 $x$ 的多项式，但自变量替换为 $x^2$。
步骤 2/5
目标：验证线性性
对任意 $f(x), g(x) \in P[x]$ 和 $\alpha, \beta \in P$，计算
\[
\varphi(\alpha f(x) + \beta g(x)) = (\alpha f + \beta g)(x^2) = \alpha f(x^2) + \beta g(x^2) = \alpha \varphi(f(x)) + \beta \varphi(g(x)).
\]
因此 $\varphi$ 是线性映射。
公式：$\varphi(\alpha f + \beta g) = \alpha \varphi(f) + \beta \varphi(g)$
提示：线性性验证需注意多项式加法和数乘的定义。
步骤 3/5
目标：证明单射性
假设 $\varphi(f(x)) = 0$，即 $f(x^2) = 0$。由于 $x^2$ 取遍所有平方数（在 $P$ 无限时有无穷多个值），多项式 $f$ 有无穷多个根，因此 $f$ 是零多项式。故 $\ker \varphi = \{0\}$，$\varphi$ 是单射。
公式：$\ker \varphi = \{0\}$
提示：需要 $P$ 是数域（无限域），否则若 $P$ 有限，此论证不成立。题目中 $P$ 是数域，通常无限。
步骤 4/5
目标：证明非满射性
考虑多项式 $x \in P[x]$。假设存在 $f(x) \in P[x]$ 使得 $\varphi(f(x)) = f(x^2) = x$。比较次数：设 $f$ 的次数为 $n$，则 $f(x^2)$ 的次数为 $2n$，而 $x$ 的次数为 $1$，除非 $n=0$ 但 $f$ 常数时 $f(x^2)$ 也为常数，矛盾。因此 $x$ 不在 $\varphi$ 的像中，$\varphi$ 不是满射。
公式：$\deg(f(x^2)) = 2\deg(f)$
提示：注意常数多项式次数为0，但 $f(x^2)$ 为常数时不可能等于 $x$。
步骤 5/5
目标：构造同构
由于 $\varphi$ 是单射线性映射，其像 $\operatorname{Im}\varphi = \{f(x^2) \mid f(x) \in P[x]\}$ 是 $P[x]$ 的子空间，且 $\varphi: P[x] \to \operatorname{Im}\varphi$ 是双射，因此是同构映射。而 $\operatorname{Im}\varphi$ 是 $P[x]$ 的真子空间（因为非满射），故 $P[x]$ 与其真子空间同构。
公式：$P[x] \cong \operatorname{Im}\varphi$
提示：真子空间指不等于整个空间的子空间，这里 $\operatorname{Im}\varphi$ 不含 $x$，故为真子空间。
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