广东工业大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
三、证明题（每小题 20 分，共 40 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用实对称矩阵的正交对角化
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。由于 $A$ 正定，所有特征值 $\lambda_i > 0$。
公式：Q^T A Q = \Lambda
提示：注意实对称矩阵的特征值均为实数，且正交对角化要求 $Q$ 是正交矩阵（$Q^T Q = I$）。
步骤 2/5
目标：构造平方根矩阵
定义 $\Lambda^{1/2} = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \sqrt{\lambda_2}, \dots, \sqrt{\lambda_n})$，则 $A^{1/2} = Q \Lambda^{1/2} Q^T$ 是对称正定矩阵，且满足 $(A^{1/2})^2 = A$。
公式：A^{1/2} = Q \Lambda^{1/2} Q^T
提示：平方根矩阵存在且唯一（正定矩阵的平方根也是正定的），注意 $\Lambda^{1/2}$ 的对角元为正。
步骤 3/5
目标：证明正定性等价于存在可逆矩阵的平方
对于任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $x^T A x = x^T (A^{1/2})^2 x = (A^{1/2} x)^T (A^{1/2} x) = \|A^{1/2} x\|^2 > 0$，因为 $A^{1/2}$ 可逆。因此 $A = (A^{1/2})^T (A^{1/2})$，取 $C = A^{1/2}$ 即得 $A = C^T C$。
公式：x^T A x = \|A^{1/2} x\|^2
提示：注意 $A^{1/2}$ 是对称的，所以 $(A^{1/2})^T = A^{1/2}$，从而 $A = (A^{1/2})^2 = (A^{1/2})^T A^{1/2}$。
步骤 4/5
目标：证明充分性：若存在可逆矩阵 $C$ 使得 $A = C^T C$，则 $A$ 正定
设 $C$ 可逆，则对任意非零向量 $x$，$x^T A x = x^T C^T C x = (C x)^T (C x) = \|C x\|^2 > 0$，因为 $C x \neq 0$（$C$ 可逆）。故 $A$ 正定。
公式：x^T A x = \|C x\|^2
提示：注意 $C$ 可逆保证 $C x \neq 0$，从而内积为正。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，实对称矩阵 $A$ 正定当且仅当存在可逆实矩阵 $C$ 使得 $A = C^T C$。
提示：该结论是正定矩阵的Cholesky分解的基础，注意 $C$ 不唯一（例如 $C$ 可以是 $A^{1/2}$ 或任何正交变换后的矩阵）。
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