广东工业大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2、若矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right)$ 不可逆，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解矩阵不可逆的条件
矩阵不可逆当且仅当其行列式为0。因此，我们需要计算给定矩阵的行列式，并令其等于0，解出参数a。
公式：矩阵可逆 ⇔ det(A) ≠ 0
提示：注意：不可逆等价于行列式为0，而不是非零。
步骤 2/6
目标：写出矩阵并选择展开方式
给定矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$。我们按第一行展开行列式，因为第一行含有参数a，便于计算。
公式：det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}
提示：选择含参数的行或列展开可以简化计算。
步骤 3/6
目标：计算各元素的代数余子式
计算第一行各元素的代数余子式：
- 对于元素 $a_{11}=1$，余子式 $M_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot0 - 1\cdot3 = -3$，代数余子式 $C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}= -3$。
- 对于元素 $a_{12}=a$，余子式 $M_{12} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\cdot0 - 1\cdot1 = -1$，代数余子式 $C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}= -(-1)=1$。
- 对于元素 $a_{13}=1$，余子式 $M_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2\cdot3 - 1\cdot1 = 6-1=5$，代数余子式 $C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=5$。
公式：代数余子式 $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
提示：注意代数余子式的符号：$(-1)^{i+j}$，不要忘记负号。
步骤 4/6
目标：计算行列式的值
将代数余子式代入展开式：
$\det(A) = 1 \cdot (-3) + a \cdot 1 + 1 \cdot 5 = -3 + a + 5 = a + 2$。
公式：det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}
提示：计算时注意符号，特别是代数余子式的符号。
步骤 5/6
目标：令行列式为0并解出a
矩阵不可逆，所以 $\det(A)=0$，即 $a+2=0$，解得 $a=-2$。
公式：det(A)=0
提示：解方程时注意移项变号。
步骤 6/6
目标：验证结果
将 $a=-2$ 代入原矩阵，得到 $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$，计算行列式：$\det = 1\cdot(1\cdot0-1\cdot3) - (-2)\cdot(2\cdot0-1\cdot1) + 1\cdot(2\cdot3-1\cdot1) = -3 + 2\cdot(-1) + 5 = -3 -2 +5 =0$，确认行列式为0，矩阵不可逆。
提示：验证可以避免计算错误。
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