广东工业大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
5、设 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $T$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right)$则 $T$ 在基 $\varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{1}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定新旧基的过渡矩阵
原基为 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$，新基为 $\varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_1$。设从新基到原基的过渡矩阵 $P$ 满足 $(\varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_1) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) P$。则 $P$ 的第一列是 $\varepsilon_2$ 在原基下的坐标 $(0,1,0)^T$，第二列是 $\varepsilon_3$ 的坐标 $(0,0,1)^T$，第三列是 $\varepsilon_1$ 的坐标 $(1,0,0)^T$，因此 $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：过渡矩阵定义：新基向量在原基下的坐标构成矩阵
提示：注意过渡矩阵的方向：从新基到原基，新基的坐标按列排列。
步骤 2/7
目标：求过渡矩阵的逆矩阵
由于 $P$ 是置换矩阵，其逆矩阵也是置换矩阵。通过观察或计算 $P^{-1}P = I$，可得 $P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：逆矩阵满足 $P^{-1}P = I$
提示：置换矩阵的逆就是其转置，因为 $P$ 是正交矩阵。
步骤 3/7
目标：写出线性变换在原基下的矩阵
已知 $T$ 在原基下的矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：确认矩阵与基的对应关系。
步骤 4/7
目标：计算新基下的矩阵公式
设 $T$ 在新基下的矩阵为 $B$，则 $B = P^{-1} A P$。
公式：基变换公式：$B = P^{-1} A P$
提示：注意顺序：先右乘 $P$ 再左乘 $P^{-1}$，不要颠倒。
步骤 5/7
目标：计算 $AP$
计算 $AP = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法
提示：逐列计算，注意行与列对应。
步骤 6/7
目标：计算 $B = P^{-1} (AP)$
左乘 $P^{-1}$：$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法
提示：注意矩阵乘法顺序，左乘 $P^{-1}$。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此，$T$ 在基 $\varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_1$ 下的矩阵为 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：结果矩阵应与新基顺序一致。
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