广东工业大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
1、已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ．
（1）证明当 $n \geq 3$ 时，有 $A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵。
（2）求 $A^{100}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算A^2和A^3
首先计算 $A^2$ 和 $A^3$：
$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
$$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：矩阵乘法要逐行逐列计算，注意顺序不可交换。
步骤 2/6
目标：验证n=3时递推式成立
验证 $n=3$ 时递推式 $A^3 = A^{1} + A^2 - E$ 成立：
$$A + A^2 - E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = A^3$$
公式：A^3 = A + A^2 - E
提示：注意单位矩阵E的减法。
步骤 3/6
目标：数学归纳法证明递推式
假设 $n=k$ 时成立，即 $A^k = A^{k-2} + A^2 - E$，则 $n=k+1$ 时：
$$A^{k+1} = A \cdot A^k = A(A^{k-2} + A^2 - E) = A^{k-1} + A^3 - A$$
由 $A^3 = A + A^2 - E$ 代入得：
$$A^{k+1} = A^{k-1} + (A + A^2 - E) - A = A^{k-1} + A^2 - E$$
即 $n=k+1$ 时也成立。由数学归纳法，对一切 $n \geq 3$ 有 $A^n = A^{n-2} + A^2 - E$。
公式：A^n = A^{n-2} + A^2 - E
提示：归纳假设要正确使用，注意下标。
步骤 4/6
目标：计算B = A^2 - E并观察性质
令 $B = A^2 - E$，计算得：
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
注意 $B^2 = 0$，因为 $B$ 的秩为1且幂零。
公式：B = A^2 - E
提示：B的幂零性很重要，注意计算B^2=0。
步骤 5/6
目标：利用递推式推导A^n的通项
由递推式 $A^n = A^{n-2} + B$，反复应用：
当 $n$ 为偶数时，设 $n=2k$，则
$$A^{2k} = A^{2k-2} + B = A^{2k-4} + 2B = \cdots = A^2 + (k-1)B$$
当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k+1$，则
$$A^{2k+1} = A^{2k-1} + B = A^{2k-3} + 2B = \cdots = A^1 + (k-1)B$$
公式：A^{2k} = A^2 + (k-1)B, A^{2k+1} = A + (k-1)B
提示：注意k的取值：n=2k时，项数为k-1个B。
步骤 6/6
目标：代入n=100计算A^{100}
对于 $n=100$，$k=50$，偶数情况：
$$A^{100} = A^2 + (50-1)B = A^2 + 49B$$
计算：
$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad 49B = \begin{pmatrix} 0 & 49 & 49 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
相加得：
$$A^{100} = \begin{pmatrix} 1 & 50 & 50 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
公式：A^{100} = A^2 + 49B
提示：注意49B的加法，只有第一行第二、三列有变化。
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