广东工业大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
二、计算题（每小题 16 分，共 80 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：行变换：将第2至n行分别减去第1行
令第i行减去第1行（i=2,3,...,n），得到：
\[
D = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
2 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n-1 & n-1 & n-1 & \cdots & n-1
\end{vmatrix}
\]
公式：行变换：第i行减去第1行
提示：注意行变换后，第2行元素全为1，第3行全为2，以此类推，不要混淆行号与元素值。
步骤 2/4
目标：提取公因子：从第2行开始每行提取公因子
第2行提取1，第3行提取2，...，第n行提取n-1：
\[
D = \left( \prod_{k=1}^{n-1} k \right) \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 1
\end{vmatrix}
\]
公式：行列式提取公因子：若某行有公因子k，则k可提到行列式外
提示：注意提取公因子时，每行独立提取，乘积形式。
步骤 3/4
目标：观察行列式：第2至n行完全相同
从第2行到第n行，所有元素均为1，因此这些行完全相同。根据行列式性质，若两行成比例（此处比例系数为1），则行列式为0。
公式：行列式性质：若两行相同，则行列式为0
提示：注意：这里第2行到第n行完全相同，而不是与第1行相同，因此可直接判定行列式为0。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于存在两行完全相同，行列式值为0，即
\[
D = 0
\]
提示：无需计算乘积，直接由性质得0。
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