广东工业大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
3、设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ，
（1）求 $A$ 的全部特征值．
（2）对 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ ，求属于特征值 $\lambda$ 的特征子空间的维数和一组基．
（3）求正交矩阵 $P$ ，使 $P^{\top} A P$ 是对角阵，并写出此对角阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出特征多项式
计算 $|\lambda I - A|$，其中 $A=\begin{pmatrix}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{pmatrix}$，得 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix}\lambda-2 & -2 & 2 \\ -2 & \lambda-5 & 4 \\ 2 & 4 & \lambda-5\end{vmatrix}$。
公式：$|\lambda I - A|$
提示：注意符号：$\lambda I - A$ 中 $A$ 的元素取负号，但 $A$ 的负号已包含在矩阵中。
步骤 2/7
目标：计算特征多项式并求根
展开行列式：$|\lambda I - A| = (\lambda-2)[(\lambda-5)^2-16] + 2[-2(\lambda-5)-8] + 2[-8-2(\lambda-5)]$。化简得 $(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-7)$。令其为零，得特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=7$。
公式：$|\lambda I - A| = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-7)$
提示：展开时注意各项符号，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：求特征值1的特征子空间
解 $(I-A)x=0$，即 $\begin{pmatrix}-1 & -2 & 2 \\ -2 & -4 & 4 \\ 2 & 4 & -4\end{pmatrix}x=0$。行化简得 $\begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，基础解系为 $\xi_1=(-2,1,0)^T, \xi_2=(2,0,1)^T$，维数为2。
公式：$(\lambda I - A)x=0$
提示：行化简时注意自由变量的选取，确保解向量线性无关。
步骤 4/7
目标：求特征值2和7的特征子空间
对于 $\lambda=2$：解 $(2I-A)x=0$，行化简得 $\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，基础解系 $\xi_3=(1,1,1)^T$，维数1。对于 $\lambda=7$：解 $(7I-A)x=0$，行化简得 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，基础解系 $\xi_4=(-2,-4,1)^T$，维数1。
公式：$(\lambda I - A)x=0$
提示：注意每个特征值对应的齐次方程组系数矩阵的秩。
步骤 5/7
目标：正交化特征向量（施密特正交化）
对于 $\lambda=1$ 的两个向量：取 $\eta_1=\xi_1=(-2,1,0)^T$，$\eta_2=\xi_2-\frac{(\xi_2,\eta_1)}{(\eta_1,\eta_1)}\eta_1=(2,0,1)^T-\frac{-4}{5}(-2,1,0)^T=(\frac{2}{5},\frac{4}{5},1)^T$。
公式：$\eta_2 = \xi_2 - \frac{(\xi_2,\eta_1)}{(\eta_1,\eta_1)}\eta_1$
提示：内积计算要准确，注意分母是 $\eta_1$ 的模长平方。
步骤 6/7
目标：单位化所有特征向量
单位化：$\gamma_1=\frac{\eta_1}{\|\eta_1\|}=(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0)^T$，$\gamma_2=\frac{\eta_2}{\|\eta_2\|}=(\frac{2}{\sqrt{45}},\frac{4}{\sqrt{45}},\frac{5}{\sqrt{45}})^T$，$\gamma_3=\frac{\xi_3}{\|\xi_3\|}=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})^T$，$\gamma_4=\frac{\xi_4}{\|\xi_4\|}=(-\frac{2}{\sqrt{21}},-\frac{4}{\sqrt{21}},\frac{1}{\sqrt{21}})^T$。
公式：$\gamma = \frac{\eta}{\|\eta\|}$
提示：单位化时注意模长计算，分母有理化可保留根号形式。
步骤 7/7
目标：构造正交矩阵和对角阵
正交矩阵 $P=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4)$，即 $P=\begin{pmatrix}-\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{45}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{21}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{4}{\sqrt{45}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{4}{\sqrt{21}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{45}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{21}}\end{pmatrix}$，对角阵 $\Lambda=\operatorname{diag}(1,1,2,7)$。
公式：$P^TAP=\Lambda$
提示：注意 $P$ 的列顺序与特征值对应，$\Lambda$ 的对角元与 $P$ 的列顺序一致。
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