广西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
1．若 $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+t x-1$ 有重根，$t$ 为整数，则 $t$ ． $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解重根条件
多项式 $f(x)$ 有重根的充要条件是 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有次数至少为1的公因式。因此，我们需要计算 $f'(x)$ 并求其与 $f(x)$ 的最大公因式。
提示：注意：重根包括二重根、三重根等，条件都是 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式。
步骤 2/7
目标：求导并做第一次多项式除法
对 $f(x)=x^3-3x^2+tx-1$ 求导得 $f'(x)=3x^2-6x+t$。用 $f(x)$ 除以 $f'(x)$：
$$f(x) = \frac{1}{3}x f'(x) + \left(\frac{t}{3}-2\right)x - 1$$
记余式 $r_1(x)=\left(\frac{t}{3}-2\right)x - 1$。
公式：多项式除法：$f(x) = q(x) f'(x) + r(x)$
提示：注意除法时系数要准确，特别是 $\frac{1}{3}x$ 乘以 $f'(x)$ 得到 $x^3-2x^2+\frac{t}{3}x$，与原式相减得 $-x^2+(t-\frac{t}{3})x-1$，化简后得到 $r_1(x)$。
步骤 3/7
目标：讨论余式为零的情况
若 $\frac{t}{3}-2=0$，即 $t=6$，则 $r_1(x)=-1$ 为非零常数，此时 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 互素，无重根。故 $t \neq 6$。
提示：当余式为常数时，最大公因式为常数，无重根。
步骤 4/7
目标：继续辗转相除法
设 $a = \frac{t}{3}-2$，则 $r_1(x)=ax-1$。用 $f'(x)$ 除以 $r_1(x)$：
$$f'(x) = (ax-1)\left(\frac{3}{a}x + \frac{3/a - 6}{a}\right) + \left(t - \frac{3}{a}\right)$$
其中余数为常数 $t - \frac{3}{a}$。
公式：多项式除法：$f'(x) = q_2(x) r_1(x) + r_2$
提示：计算商时注意系数：$3x^2$ 除以 $ax$ 得 $\frac{3}{a}x$，然后交叉相乘相减，再继续。
步骤 5/7
目标：由重根条件得方程
由于 $f(x)$ 有重根，$f(x)$ 与 $f'(x)$ 的最大公因式次数至少为1，因此余数 $r_2 = t - \frac{3}{a}$ 必须为零。代入 $a = \frac{t}{3}-2$ 得：
$$t - \frac{3}{\frac{t}{3}-2} = 0$$
整理得 $t^2 - 6t - 9 = 0$，解得 $t = 3 \pm 3\sqrt{2}$，不是整数，矛盾。
公式：$t - \frac{3}{\frac{t}{3}-2} = 0$
提示：注意：这里假设了重根是二重根的情况，但三次多项式也可能有三重根，需要单独考虑。
步骤 6/7
目标：考虑三重根情况
若 $f(x)$ 有三重根，则 $f(x)$ 可写为 $(x-a)^3$ 的形式。展开得 $x^3 - 3a x^2 + 3a^2 x - a^3$。与 $f(x)=x^3-3x^2+tx-1$ 对比系数：
$$-3a = -3 \Rightarrow a=1$$
$$3a^2 = t \Rightarrow t=3$$
$$-a^3 = -1 \Rightarrow a=1$$
因此 $t=3$ 时 $f(x)=(x-1)^3$，有三重根。
公式：$(x-a)^3 = x^3 - 3a x^2 + 3a^2 x - a^3$
提示：三重根是重根的特殊情况，此时 $f'(x)$ 也有重根，但辗转相除法中余数会为零，需要单独验证。
步骤 7/7
目标：验证并给出答案
当 $t=3$ 时，$f(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$，确实有重根（三重根）。因此 $t=3$ 满足条件。
提示：注意：$t=3$ 是整数，符合题目要求。
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