📝 广西大学 2023年高等代数真题
第0题
1．若 $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+t x-1$ 有重根，$t$ 为整数，则 $t$ ． $\_\_\_\_$ ．
第0题
2．若 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}5 x & x & 1 & x \\ 1 & x & 1 & -1 \\ 3 & 2 & x & 1 \\ 3 & 1 & 1 & x\end{array}\right|$ ，则 $x^{4}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ ，$x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
3．若 $\alpha_{1}=(2,0,0)^{T}, \alpha_{2}=(-1,3,0)^{T}, \alpha_{3}=(7,-4,0)^{T}$ ，则向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的秩为 $\_\_\_\_$
第0题
4．矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5\end{array}\right)$ 的初等因子组为 $\_\_\_\_$
第0题
5．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+c x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ，则 $c=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
6．设
$$
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right),\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 3 & 1 & 0 \\
5 & 3 & 2 & 1 \\
6 & 6 & 1 & 3
\end{array}\right) .
$$
则基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 到 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 的过渡矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
$$
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right),\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 3 & 1 & 0 \\
5 & 3 & 2 & 1 \\
6 & 6 & 1 & 3
\end{array}\right) .
$$
则基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 到 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 的过渡矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
7．若方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=1 \\
x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}+x_{4}=3 \\
3 x_{1}-x_{2}-k x_{3}+15 x_{4}=3 \\
x_{1}-5 x_{2}-10 x_{3}+12 x_{4}=1
\end{array}\right.
$$
有唯一解，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=1 \\
x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}+x_{4}=3 \\
3 x_{1}-x_{2}-k x_{3}+15 x_{4}=3 \\
x_{1}-5 x_{2}-10 x_{3}+12 x_{4}=1
\end{array}\right.
$$
有唯一解，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
8．三阶复矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 的最小多项式为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
二．计算 $n$ 阶行列式
$$
A=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \\
3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \\
4 & 5 & 6 & \cdots & 2 & 3 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & & \cdots \\
n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1
\end{array}\right| .
$$
三设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的非平凡不变子空间，在 $W$ 中取一个基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ ，把它扩充成 $\displaystyle I^{\prime}$ 的一组基 $\displaystyle a_{1}, \cdots, a_{r}, a_{r+1}, \cdots, a_{n}, \mathcal{A}$ 在 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 下的矩
阵为
$$
\left(\begin{array}{ll}
A_{1} & A_{3} \\
O & A_{2}
\end{array}\right) .
$$
其中 $\displaystyle A_{1}$ 为 $r$ 阶方阵，定义 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}: V / W \rightarrow V / W, a+W \rightarrow \mathcal{A} a+W$ 。证明：
（1）$\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 是 $\displaystyle V / W$ 上的线性变换；
（2）$\displaystyle A_{2}$ 是 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 在基 $\displaystyle a_{r+1}+W, \cdots, a_{n}+W$ 下的矩阵。
$$
A=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \\
3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \\
4 & 5 & 6 & \cdots & 2 & 3 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & & \cdots \\
n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1
\end{array}\right| .
$$
三设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的非平凡不变子空间，在 $W$ 中取一个基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ ，把它扩充成 $\displaystyle I^{\prime}$ 的一组基 $\displaystyle a_{1}, \cdots, a_{r}, a_{r+1}, \cdots, a_{n}, \mathcal{A}$ 在 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 下的矩
阵为
$$
\left(\begin{array}{ll}
A_{1} & A_{3} \\
O & A_{2}
\end{array}\right) .
$$
其中 $\displaystyle A_{1}$ 为 $r$ 阶方阵，定义 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}: V / W \rightarrow V / W, a+W \rightarrow \mathcal{A} a+W$ 。证明：
（1）$\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 是 $\displaystyle V / W$ 上的线性变换；
（2）$\displaystyle A_{2}$ 是 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 在基 $\displaystyle a_{r+1}+W, \cdots, a_{n}+W$ 下的矩阵。
第0题
五．已知两组方程组如下：
$$
\text { (A) }\left\{\begin{array} { l }
{ x _ { 1 } + x _ { 2 } - 2 x _ { 4 } = - 6 } \\
{ 4 x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } - x _ { 4 } } \\
{ 3 x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } = 3 }
\end{array} = 1 \text { (B) } \left\{\begin{array}{l}
x_{1}+m x_{2}-x_{3}-x_{4}=-5 \\
n x_{2}-x_{3}-2 x_{4}=-11 \\
x_{3}-2 x_{4}=-t+1
\end{array} .\right.\right.
$$
（1）求方程组（A）的解，用其导出组线性表示：
（2）求 $\displaystyle m, n, t$ 的值，使得 $\displaystyle (\mathbf{A})$ 与（B）同解．
$$
\text { (A) }\left\{\begin{array} { l }
{ x _ { 1 } + x _ { 2 } - 2 x _ { 4 } = - 6 } \\
{ 4 x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } - x _ { 4 } } \\
{ 3 x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } = 3 }
\end{array} = 1 \text { (B) } \left\{\begin{array}{l}
x_{1}+m x_{2}-x_{3}-x_{4}=-5 \\
n x_{2}-x_{3}-2 x_{4}=-11 \\
x_{3}-2 x_{4}=-t+1
\end{array} .\right.\right.
$$
（1）求方程组（A）的解，用其导出组线性表示：
（2）求 $\displaystyle m, n, t$ 的值，使得 $\displaystyle (\mathbf{A})$ 与（B）同解．
第0题
六．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．七．设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $F$ 上的一个次数大于 0 的一元多项式，证明：$\displaystyle f(x)$ 是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是对数域 $F$ 上的任意多项式 $\displaystyle g(x)$ ，有 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或者存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．
第0题
四．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为实数域上的 $n$ 阶矩阵，证明：
（1）若 $\displaystyle \left|a_{i i}\right|>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle |A| \neq 0$ ；
（2）若 $\displaystyle a_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle |A|>0$ ．
（1）若 $\displaystyle \left|a_{i i}\right|>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle |A| \neq 0$ ；
（2）若 $\displaystyle a_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle |A|>0$ ．