广西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
8．三阶复矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 的最小多项式为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出矩阵并计算特征多项式
给定矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$。按第二行展开，得 $(\lambda-1) \cdot \det\begin{pmatrix} \lambda & -1 \\ -1 & \lambda \end{pmatrix} = (\lambda-1)(\lambda^2 - 1) = (\lambda-1)^2(\lambda+1)$。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^2(\lambda+1)$
提示：展开行列式时，注意按含零较多的行展开可简化计算。
步骤 2/6
目标：确定特征值及其代数重数
由特征多项式 $(\lambda-1)^2(\lambda+1)$ 知，特征值为 $\lambda=1$（代数重数2）和 $\lambda=-1$（代数重数1）。
提示：代数重数是特征多项式中因式的指数。
步骤 3/6
目标：判断矩阵是否可对角化
计算特征值1的几何重数。解 $(A-I)x=0$：$A-I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为1，故零空间维数为2，即几何重数为2，等于代数重数。因此矩阵可对角化。
提示：可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数等于代数重数。
步骤 4/6
目标：由可对角化推断最小多项式形式
可对角化矩阵的最小多项式是互异一次因式的乘积，即所有不同特征值的一次因式相乘。这里不同特征值为1和-1，故最小多项式为 $(\lambda-1)(\lambda+1) = \lambda^2 - 1$。
公式：$m(\lambda) = (\lambda-1)(\lambda+1)$
提示：注意最小多项式中的因式指数为1，因为可对角化。
步骤 5/6
目标：验证最小多项式
计算 $(A-I)(A+I)$：$A+I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，$(A-I)(A+I) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，故 $\lambda^2-1$ 确实为零化多项式，且次数最低（因为一次式 $\lambda-1$ 和 $\lambda+1$ 均不能零化 $A$），所以是最小多项式。
提示：验证时需确认没有更低次数的零化多项式。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
因此，矩阵 $A$ 的最小多项式为 $\lambda^2 - 1$。
公式：$m(\lambda) = \lambda^2 - 1$
提示：答案应写成关于 $\lambda$ 的多项式形式。
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