广西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
四．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为实数域上的 $n$ 阶矩阵，证明：
（1）若 $\displaystyle \left|a_{i i}\right|>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle |A| \neq 0$ ；
（2）若 $\displaystyle a_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle |A|>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：反证法假设行列式为零
假设 $|A|=0$，则齐次线性方程组 $Ax=0$ 有非零解 $x=(x_1,\dots,x_n)^T \neq 0$。
提示：注意非零解的存在性依赖于行列式为零。
步骤 2/8
目标：选取绝对值最大的分量
设 $|x_k| = \max\{|x_1|,\dots,|x_n|\} > 0$。
提示：确保最大值存在且为正。
步骤 3/8
目标：写出第k个方程并变形
由第 $k$ 个方程 $\sum_{j=1}^n a_{kj}x_j=0$ 得 $a_{kk}x_k = -\sum_{j\neq k} a_{kj}x_j$。
提示：注意移项时符号。
步骤 4/8
目标：取绝对值并放缩
两边取绝对值，利用三角不等式得 $|a_{kk}||x_k| \leq \sum_{j\neq k} |a_{kj}||x_j|$。由于 $|x_j| \leq |x_k|$，有 $\sum_{j\neq k} |a_{kj}||x_j| \leq |x_k| \sum_{j\neq k} |a_{kj}|$。
公式：三角不等式：$|\sum c_j| \leq \sum |c_j|$
提示：注意绝对值不等式的方向。
步骤 5/8
目标：导出矛盾
两边除以 $|x_k|>0$ 得 $|a_{kk}| \leq \sum_{j\neq k} |a_{kj}|$，与条件 $|a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij}|$ 矛盾。故 $|A| \neq 0$。
提示：严格不等式不能取等。
步骤 6/8
目标：构造辅助函数并利用连续性
考虑函数 $f(t)=\det(tI+A)$，$t\geq 0$。当 $t$ 充分大时，$tI+A$ 严格对角占优且对角元为正，由(1)知 $f(t)\neq 0$。$f(t)$ 连续，$f(0)=|A|$。
提示：注意 $tI+A$ 的对角元为 $a_{ii}+t$。
步骤 7/8
目标：反证法假设行列式非正
若 $|A|\leq 0$，则由连续函数介值定理，存在 $t_0>0$ 使得 $f(t_0)=0$，即 $|t_0I+A|=0$。
公式：介值定理
提示：注意 $f(t)$ 在 $t$ 充分大时为正，所以从非正到正必经过零点。
步骤 8/8
目标：导出矛盾完成证明
但 $t_0I+A$ 的对角元 $a_{ii}+t_0 > a_{ii} > \sum_{j\neq i} |a_{ij}|$，仍满足严格对角占优，由(1)知 $|t_0I+A|\neq 0$，矛盾。故 $|A|>0$。
提示：注意严格对角占优条件在加上正数后仍然成立。
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