广西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
7．若方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=1 \\
x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}+x_{4}=3 \\
3 x_{1}-x_{2}-k x_{3}+15 x_{4}=3 \\
x_{1}-5 x_{2}-10 x_{3}+12 x_{4}=1
\end{array}\right.
$$
有唯一解，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解唯一解的条件
对于线性方程组，有唯一解当且仅当系数矩阵的行列式非零，即系数矩阵满秩。
提示：注意区分唯一解与无穷解、无解的条件：唯一解要求系数矩阵行列式非零；若行列式为零，则需进一步判断增广矩阵的秩。
步骤 2/8
目标：写出系数矩阵
方程组对应的系数矩阵为：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 & 1 \\ 3 & -1 & -k & 15 \\ 1 & -5 & -10 & 12 \end{pmatrix}. \]
提示：注意系数矩阵只包含未知数的系数，不包括常数项。
步骤 3/8
目标：计算行列式：初等行变换
对行列式进行行变换，将第1行乘以-1加到第2行和第4行，乘以-3加到第3行：
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & -4 & -k-6 & 6 \\ 0 & -6 & -12 & 9 \end{vmatrix}. \]
提示：行变换时注意符号，避免计算错误。
步骤 4/8
目标：按第一列展开
按第一列展开，得到3阶行列式：
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 4 & -2 \\ -4 & -k-6 & 6 \\ -6 & -12 & 9 \end{vmatrix}. \]
提示：展开时注意符号：第一列元素1的代数余子式符号为正。
步骤 5/8
目标：化简3阶行列式
将第1行乘以2加到第2行，乘以3加到第3行：
\[ \begin{vmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 0 & -k+2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix}. \]
提示：行变换的目的是化为上三角形式，注意计算：第2行第1列：-4+2*2=0；第2行第2列：(-k-6)+2*4=-k+2；第2行第3列：6+2*(-2)=2；第3行第1列：-6+3*2=0；第3行第2列：-12+3*4=0；第3行第3列：9+3*(-2)=3。
步骤 6/8
目标：计算上三角行列式
上三角行列式等于对角线元素乘积：
\[ \det(A) = 2 \times (-k+2) \times 3 = 6(2-k). \]
公式：上三角行列式 = 对角线元素乘积
提示：注意符号：(-k+2) = -(k-2)，因此行列式也可写为 -6(k-2)。
步骤 7/8
目标：令行列式非零
方程组有唯一解要求行列式非零：
\[ 6(2-k) \neq 0 \Rightarrow k \neq 2. \]
提示：注意：k=2时行列式为零，此时方程组可能无解或有无穷多解，需进一步判断。
步骤 8/8
目标：得出答案
因此，当 \(k \neq 2\) 时，方程组有唯一解。由于题目要求填写具体值，但唯一解条件为 \(k \neq 2\)，故答案为 \(k \neq 2\)。
提示：填空题中有时需填写取值范围，此处应填 \(k \neq 2\)。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。