广西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
六．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．七．设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $F$ 上的一个次数大于 0 的一元多项式，证明：$\displaystyle f(x)$ 是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是对数域 $F$ 上的任意多项式 $\displaystyle g(x)$ ，有 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或者存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明必要性：若AB正定，则AB=BA
设$AB$正定，则$AB$是对称矩阵，即$(AB)^T = AB$。由于$A,B$正定，故$A^T=A, B^T=B$，因此$(AB)^T = B^T A^T = BA$。所以$AB = BA$。
公式：$(AB)^T = B^T A^T$
提示：注意正定矩阵必为对称矩阵，且转置运算顺序要正确。
步骤 2/6
目标：证明充分性：若AB=BA，则AB正定
设$AB = BA$。由于$A$正定，存在可逆矩阵$P$使得$A = P^T P$。考虑$P^{-T}(AB)P^{-1}$，计算得$P^{-T}ABP^{-1} = P^{-T}P^T P B P^{-1} = P B P^{-1}$。
公式：$A = P^T P$
提示：注意$P^{-T}$表示$(P^T)^{-1}$，即$P^{-1}$的转置。
步骤 3/6
目标：证明$PBP^{-1}$对称且特征值全正
由$AB=BA$可得$PBP^{-1}$对称，因为$(PBP^{-1})^T = P^{-T} B^T P^T = P^{-T} B P^T$，而$AB=BA$可推出$P^{-T} B P^T = P B P^{-1}$（需验证）。实际上，由$AB=BA$得$P^T P B = B P^T P$，左乘$P^{-T}$右乘$P^{-1}$得$P B P^{-1} = P^{-T} B P^T$，故对称。又$PBP^{-1}$与$B$相似，特征值相同，而$B$正定特征值全正，故$PBP^{-1}$正定。
公式：$(PBP^{-1})^T = P^{-T} B P^T$
提示：对称性证明需利用$AB=BA$，注意矩阵乘法不可交换。
步骤 4/6
目标：证明AB与正定矩阵合同
由于$PBP^{-1}$正定，存在可逆矩阵$Q$使得$PBP^{-1} = Q^T Q$。则$AB = P^T P B = P^T (P B P^{-1}) P = P^T Q^T Q P = (QP)^T (QP)$，故$AB$与单位矩阵合同，从而正定。
公式：$AB = (QP)^T (QP)$
提示：注意合同变换中矩阵的可逆性。
步骤 5/6
目标：证明必要性：若f是不可约多项式方幂，则对任意g满足条件
设$f(x)=p(x)^k$，$p$不可约，$k\ge 1$。对任意$g(x)$，若$(f,g)=1$，则结论成立。否则，存在$p$整除$g$，设$p^e \parallel g$，取$m=k$，则$f=p^k \mid p^{ke} \mid g^m$。
公式：$p^e \parallel g$表示$p^e$整除$g$但$p^{e+1}$不整除
提示：注意$m$的选取：$m=k$即可，因为$f$的指数$k$不超过$g^m$中$p$的指数$me$。
步骤 6/6
目标：证明充分性：若对任意g满足条件，则f是不可约多项式方幂
反证法。假设$f$不是不可约多项式的方幂，则存在两个不同的不可约因子$p,q$使得$p\mid f, q\mid f$。取$g=p$，则$(f,g)=p\neq 1$，且对任意正整数$m$，$g^m=p^m$，而$f$含有因子$q$，故$f\nmid g^m$，矛盾。因此$f$必为某个不可约多项式的方幂。
提示：注意$g$的选取：取一个不可约因子，使得$(f,g)$不是1，且$f$不整除$g$的任何幂。
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