广西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
五．已知两组方程组如下：
$$
\text { (A) }\left\{\begin{array} { l }
{ x _ { 1 } + x _ { 2 } - 2 x _ { 4 } = - 6 } \\
{ 4 x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } - x _ { 4 } } \\
{ 3 x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } = 3 }
\end{array} = 1 \text { (B) } \left\{\begin{array}{l}
x_{1}+m x_{2}-x_{3}-x_{4}=-5 \\
n x_{2}-x_{3}-2 x_{4}=-11 \\
x_{3}-2 x_{4}=-t+1
\end{array} .\right.\right.
$$
（1）求方程组（A）的解，用其导出组线性表示：
（2）求 $\displaystyle m, n, t$ 的值，使得 $\displaystyle (\mathbf{A})$ 与（B）同解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出方程组(A)的增广矩阵
方程组(A)为：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - 2x_4 = -6 \\
4x_1 - x_2 - x_3 - x_4 = 1 \\
3x_1 - x_2 - x_3 = 3
\end{cases}
$$
其增广矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & -2 & -6 \\
4 & -1 & -1 & -1 & 1 \\
3 & -1 & -1 & 0 & 3
\end{pmatrix}
$$
提示：注意第三个方程没有$x_4$项，系数为0。
步骤 2/7
目标：将增广矩阵化为行最简形
进行初等行变换：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & -2 & -6 \\
4 & -1 & -1 & -1 & 1 \\
3 & -1 & -1 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2-4R_1, R_3-3R_1}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & -2 & -6 \\
0 & -5 & -1 & 7 & 25 \\
0 & -4 & -1 & 6 & 21
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2-R_3}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & -2 & -6 \\
0 & -1 & 0 & 1 & 4 \\
0 & -4 & -1 & 6 & 21
\end{pmatrix}
$$
$$
\xrightarrow{R_1+R_2, R_3-4R_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 & -2 \\
0 & -1 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & -1 & 2 & 5
\end{pmatrix}
\xrightarrow{-R_2, -R_3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 0 & -1 & -4 \\
0 & 0 & 1 & -2 & -5
\end{pmatrix}
$$
提示：行变换要逐步进行，注意符号变化。
步骤 3/7
目标：写出方程组(A)的解
由行最简形得到：
$$
\begin{cases}
x_1 - x_4 = -2 \\
x_2 - x_4 = -4 \\
x_3 - 2x_4 = -5
\end{cases}
$$
即
$$
\begin{cases}
x_1 = x_4 - 2 \\
x_2 = x_4 - 4 \\
x_3 = 2x_4 - 5 \\
x_4 = x_4
\end{cases}
$$
令$x_4 = k$，则解为：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{pmatrix}
= k \begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
-2 \\ -4 \\ -5 \\ 0
\end{pmatrix},\quad k \in \mathbb{R}
$$
其中导出组的基础解系为$(1,1,2,1)^T$，特解为$(-2,-4,-5,0)^T$。
提示：自由变量$x_4$取任意实数。
步骤 4/7
目标：将(A)的解代入(B)的第一个方程求m
将$x_1=k-2, x_2=k-4, x_3=2k-5, x_4=k$代入(B)的第一个方程：
$$
(k-2) + m(k-4) - (2k-5) - k = -5
$$
化简：
$$
k-2 + mk - 4m - 2k + 5 - k = -5 \\
(m-2)k + (3 - 4m) = -5 \\
(m-2)k + (8 - 4m) = 0
$$
由于对任意$k$成立，系数必须为0：
$$
m-2 = 0, \quad 8-4m = 0 \Rightarrow m=2
$$
提示：注意合并同类项时不要遗漏常数项。
步骤 5/7
目标：将(A)的解代入(B)的第二个方程求n
代入第二个方程：
$$
n(k-4) - (2k-5) - 2k = -11
$$
化简：
$$
nk - 4n - 2k + 5 - 2k = -11 \\
(n-4)k + (-4n + 5 + 11) = 0 \\
(n-4)k + (16 - 4n) = 0
$$
对任意$k$成立，所以：
$$
n-4 = 0, \quad 16-4n = 0 \Rightarrow n=4
$$
提示：注意符号，$-2k-2k=-4k$。
步骤 6/7
目标：将(A)的解代入(B)的第三个方程求t
代入第三个方程：
$$
(2k-5) - 2k = -t+1
$$
化简：
$$
-5 = -t+1 \\
t = 6
$$
提示：左边化简后不含k，直接得到t的值。
步骤 7/7
目标：总结结果
因此，$m=2, n=4, t=6$。此时方程组(B)与(A)同解。
提示：验证：将m,n,t代入(B)，其解应与(A)一致。
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