广西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+c x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ，则 $c=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+cx_3^2-2x_1x_2+6x_1x_3-6x_2x_3$ 对应的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此，$A=\begin{pmatrix} 5 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & c \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f(x)=x^TAx$，其中 $A$ 对称。
提示：注意交叉项系数要除以2，例如 $x_1x_2$ 系数为 $-2$，则 $a_{12}=a_{21}=-1$。
步骤 2/6
目标：利用秩为2的条件
矩阵 $A$ 的秩为2，说明 $A$ 是奇异的，即行列式为零：$\det(A)=0$。
公式：秩 $r(A)=2 \Rightarrow \det(A)=0$。
提示：秩为2意味着矩阵不满秩，行列式必为零。
步骤 3/6
目标：计算行列式
计算 $\det(A)=\begin{vmatrix} 5 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & c \end{vmatrix}$。按第一行展开：
$\det(A)=5\begin{vmatrix}5 & -3\\ -3 & c\end{vmatrix} -(-1)\begin{vmatrix}-1 & -3\\ 3 & c\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}-1 & 5\\ 3 & -3\end{vmatrix}$
$=5(5c-9)+1((-1)c-(-3)\cdot3)+3((-1)(-3)-5\cdot3)$
$=25c-45+(-c+9)+3(3-15)$
$=25c-45-c+9-36=24c-72$。
公式：行列式展开公式。
提示：计算二阶行列式时注意符号：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$。
步骤 4/6
目标：解方程求c
令 $\det(A)=24c-72=0$，解得 $c=3$。
提示：解一元一次方程时注意移项变号。
步骤 5/6
目标：验证秩为2
当 $c=3$ 时，$A=\begin{pmatrix}5&-1&3\\-1&5&-3\\3&-3&3\end{pmatrix}$。观察发现第三行等于第一行减去第二行：$(5-(-1), -1-5, 3-(-3))=(6,-6,6)$，但实际第三行是$(3,-3,3)$，相差一个因子 $\frac12$？实际上，第一行减第二行得 $(6,-6,6)$，而第三行是 $(3,-3,3)$，所以第三行是 $(第一行减第二行)/2$，即第三行可由前两行线性表示。前两行不成比例，故秩为2。
提示：验证秩时，可检查行向量是否线性相关，或计算非零二阶子式。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$c=3$。
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