广西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
6．设
$$
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right),\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 3 & 1 & 0 \\
5 & 3 & 2 & 1 \\
6 & 6 & 1 & 3
\end{array}\right) .
$$
则基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 到 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 的过渡矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解过渡矩阵的定义
设过渡矩阵为 $P$，满足 $(eta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) P$。即 $B = A P$，其中 $A$ 和 $B$ 分别为基向量组构成的矩阵。
公式：$B = A P$
提示：注意过渡矩阵是从旧基到新基的变换矩阵，左乘旧基得到新基。
步骤 2/6
目标：写出基矩阵
将基向量按列排成矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$，
$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$。
提示：确保向量按列排列，顺序对应基的次序。
步骤 3/6
目标：求解过渡矩阵表达式
由 $B = A P$ 得 $P = A^{-1} B$。因此需要先求 $A$ 的逆矩阵。
公式：$P = A^{-1} B$
提示：注意矩阵乘法顺序，$A^{-1}$ 左乘 $B$。
步骤 4/6
目标：利用正交性求逆矩阵
观察 $A$ 的列向量两两正交，且每列模为 $2$，故 $A^T A = 4I$，所以 $A^{-1} = \frac{1}{4} A^T$。
公式：$A^{-1} = \frac{1}{4} A^T$
提示：验证正交性：计算 $A^T A$ 是否为对角矩阵。
步骤 5/6
目标：计算 $A^T B$
计算 $A^T B$ 的每个元素：
第一行：$(1,1,1,1)$ 与 $B$ 各列点积得 $(13,13,3,5)$；
第二行：$(1,1,-1,-1)$ 得 $(-9,-5,-3,-3)$；
第三行：$(1,-1,1,-1)$ 得 $(1,-5,-1,-1)$；
第四行：$(1,-1,-1,1)$ 得 $(3,1,-3,3)$。
所以 $A^T B = \begin{pmatrix} 13 & 13 & 3 & 5 \\ -9 & -5 & -3 & -3 \\ 1 & -5 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & -3 & 3 \end{pmatrix}$。
提示：点积计算时注意符号，尤其是负号。
步骤 6/6
目标：得到过渡矩阵
将 $A^T B$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 得 $P = \frac{1}{4} A^T B = \begin{pmatrix} \frac{13}{4} & \frac{13}{4} & \frac{3}{4} & \frac{5}{4} \\ -\frac{9}{4} & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} & -\frac{5}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$。
公式：$P = \frac{1}{4} A^T B$
提示：结果矩阵元素为分数，注意约简。
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