广西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
4．矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5\end{array}\right)$ 的初等因子组为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察矩阵结构
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ 是分块对角矩阵，对角块分别为 $J_1 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 和 $J_2 = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$。
提示：注意分块对角矩阵的初等因子等于各分块初等因子的并集。
步骤 2/5
目标：计算特征多项式
由于矩阵是分块对角，特征多项式为各块特征多项式之积。对于 $J_1$，特征多项式为 $(\lambda-3)^2$；对于 $J_2$，特征多项式为 $(\lambda-5)^2$。因此 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda) = (\lambda-3)^2(\lambda-5)^2$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \prod_i \det(\lambda I - A_i)$
提示：特征多项式是初等因子乘积，但初等因子可能重复，且次数之和等于矩阵阶数。
步骤 3/5
目标：分析特征值3对应的Jordan块
特征值3对应的块 $J_1 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 是一个2阶Jordan块，其初等因子为 $(\lambda-3)^2$。
公式：Jordan块的初等因子为 $(\lambda - \lambda_0)^{\text{块大小}}$
提示：Jordan块的大小决定初等因子的次数，注意区分Jordan块与对角矩阵。
步骤 4/5
目标：分析特征值5对应的Jordan块
特征值5对应的块 $J_2 = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ 是两个1阶Jordan块（即对角矩阵），每个1阶Jordan块的初等因子为 $(\lambda-5)$。因此有两个相同的初等因子 $(\lambda-5)$。
公式：对角矩阵的初等因子为一次因子的重复
提示：对角矩阵的每个对角元对应一个1阶Jordan块，初等因子为一次因子，重复次数等于该特征值的代数重数。
步骤 5/5
目标：合并初等因子组
将各块的初等因子合并，得到初等因子组为 $\{ (\lambda-3)^2, \lambda-5, \lambda-5 \}$。注意初等因子组是集合，但重复因子要列出。
提示：初等因子组中每个因子按次数从高到低排列，但通常不要求顺序。
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