广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．若 $x^{2}+1 \mid x^{4}+k x^{2}+1$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解整除条件
由题意，$x^2+1 \mid x^4 + kx^2 + 1$，即存在多项式 $q(x)$ 使得 $x^4 + kx^2 + 1 = (x^2+1)q(x)$。
提示：注意整除的定义：多项式 $f(x)$ 整除 $g(x)$ 当且仅当存在多项式 $h(x)$ 使得 $g(x)=f(x)h(x)$。
步骤 2/6
目标：确定商多项式的次数
由于 $x^2+1$ 是二次多项式，被除式 $x^4+kx^2+1$ 是四次多项式，因此商多项式 $q(x)$ 应为二次多项式。设 $q(x)=x^2+ax+b$，其中 $a,b$ 为待定系数。
提示：多项式除法中，被除式次数等于除式次数加商式次数。
步骤 3/6
目标：展开乘积并比较系数
将 $(x^2+1)(x^2+ax+b)$ 展开：
\[
(x^2+1)(x^2+ax+b) = x^4 + a x^3 + (b+1)x^2 + a x + b.
\]
与 $x^4 + kx^2 + 1$ 比较系数。
提示：展开时注意合并同类项，不要遗漏项。
步骤 4/6
目标：建立方程组
比较对应项系数得到方程组：
- $x^3$ 项系数：$a=0$；
- $x^2$ 项系数：$b+1 = k$；
- $x$ 项系数：$a=0$；
- 常数项：$b=1$。
提示：注意 $x$ 项系数为 $a$，而原多项式 $x^4+kx^2+1$ 中 $x$ 项系数为0，所以 $a=0$。
步骤 5/6
目标：求解参数
由常数项得 $b=1$，代入 $b+1=k$ 得 $k=2$。
提示：注意 $b$ 的值是从常数项直接得到的，不要遗漏。
步骤 6/6
目标：验证结果
将 $k=2$ 代入原多项式：$x^4+2x^2+1 = (x^2+1)^2$，显然能被 $x^2+1$ 整除。
提示：验证可以确保答案正确，避免计算错误。
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