📝 广西大学 2024年高等代数真题

1．若 $x^{2}+1 \mid x^{4}+k x^{2}+1$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

2．设向量组 $\alpha_{1}=(1,0,3,4,3)^{\prime}, \alpha_{2}=(3,-1,2,1,3)^{\prime}, \alpha_{3}=(-1,1,0,5,2)^{\prime}, \alpha_{4}=(3,0,5,10,8)^{\prime}, \alpha_{5}=(-1,0,1,-2,-2)^{\prime}$则 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 的秩是 $\_\_\_\_$ ．

3．已知二次型 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 t x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 是正定的，则 $t$ 满足 $\_\_\_\_$ ．

4．设 $P$ 为数域，在 $P^{4}$ 中，令

$$
\begin{gathered}
W_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}-2 x_{2}+2 x_{4}=0, x_{1}+2 x_{3}=0\right\} \\
W_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}-4 x_{2}-2 x_{3}+4 x_{4}=0 .\right\}
\end{gathered}
$$

则 $W_{1} \cap W_{2}$ 的维数是 $\_\_\_\_$ ．

5．若 $A B=B A$ ，矩阵 $B$ 就称与 $A$ 可交换，则所有与 $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 可交换的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

6．若方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 ; \\ x_{1}+2 x_{2}-a x_{3}=9 ; \\ 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=6 .\end{array}\right.$ 有唯一解，则 $a$ 满足的条件是 $\_\_\_\_$ ．

7．设 $P$ 为数域，在 $P^{3}$ 中给出一组基 $\alpha_{1}=(-1,0,2), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(3,-1,0)$ ，定义线性变换 $\sigma$如下：$\sigma\left(\alpha_{1}\right)=(-5,0,3), \sigma\left(\alpha_{2}\right)=(0,-1,6), \sigma\left(\alpha_{3}\right)=(-5,-1,9)$ 。则 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

8．设二阶矩阵 $\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 0 & t\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}-10 & -4 \\ 26 & 11\end{array}\right)$ 相似，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

七．（18 分）设 $m$ 为正整数，$\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 为数域 $P$ 上的非零多项式，证明：$\displaystyle g^{m}(x) \mid f^{m}(x)$ 的充分必要条件是 $\displaystyle g(x) \mid f(x)$ 。

三．（18 分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{s}$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的 $s$ 个非平凡子空间，证明：$V$ 中至少存在向量 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle \alpha \notin V_{i}, i=1,2, \cdots, s$ ．

二．（12分）计算 $n$ 阶行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
x & a & a & \cdots & a \\
-a & x & a & \cdots & a \\
-a & -a & x & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
-a & -a & -a & \cdots & x
\end{array}\right| .
$$

五．（12分）设有齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\quad \cdots \cdots \\
a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$

$\displaystyle M_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 为系数矩阵 $A$ 划去地 $i$ 列剩下的 $\displaystyle (n-1) \times(n-1)$ 矩阵的行列式。证明：如果秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ，则 $\displaystyle \eta_{0}=\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个基础解系．

八．（12分）设 $\displaystyle \alpha$ 是欧氏空间 $V$ 的一个非零向量，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \in V$ 满足

$$
\left(\alpha_{i}, \alpha\right)>0(i=1,2, \cdots, n) ;\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right) \leq 0(i, j=1,2, \cdots, m ; i \neq j)
$$

其中符号 $\displaystyle (x, y)$ 表示向量 $\displaystyle x, y$ 的内积。证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关。

六．（18 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}, C=\left(a_{i j} b_{i j}\right)_{n \times n}$ ．证明：若 $\displaystyle A, B$ 均是正定矩阵，则 $C$ 也是正定矩阵。

四．（12 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（ $\displaystyle \varepsilon$ 是 $V$ 的恒等变换）．证明：对 $V$ 中每个向量 $\displaystyle \alpha$ ，存在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \in V$ ，使得 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=-\alpha_{2}$ ，且 $\displaystyle \alpha$ 可唯一地表示成 $\displaystyle \alpha_{1}$ 与 $\displaystyle \alpha_{2}$ 之和（即 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}$ 表示唯一）．