广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
二．（12分）计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
x & a & a & \cdots & a \\
-a & x & a & \cdots & a \\
-a & -a & x & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
-a & -a & -a & \cdots & x
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将第2至n列加到第1列
将第2,3,…,n列分别加到第1列，得到新行列式：
$$D_n=\begin{vmatrix}
x+(n-1)a & a & a & \cdots & a \\
x-(n-1)a & x & a & \cdots & a \\
x-(n-1)a & -a & x & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
x-(n-1)a & -a & -a & \cdots & x
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式性质：将一列的倍数加到另一列，行列式值不变。
提示：注意第1列每个元素加的是其他列对应元素的和，即第1行加(n-1)a，其余行加-(n-1)a。
步骤 2/5
目标：提取第1列公因子
第1列所有元素都有公因子(x+(n-1)a)，提取出来：
$$D_n=(x+(n-1)a)\begin{vmatrix}
1 & a & a & \cdots & a \\
1 & x & a & \cdots & a \\
1 & -a & x & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & -a & -a & \cdots & x
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式性质：若某列元素有公因子，可提取到行列式外。
提示：注意提取公因子后，第1列元素变为1。
步骤 3/5
目标：将第1行乘以-1加到其余各行
将第1行的-1倍分别加到第2,3,…,n行，使第1列除第1行外全为0：
$$D_n=(x+(n-1)a)\begin{vmatrix}
1 & a & a & \cdots & a \\
0 & x-a & 0 & \cdots & 0 \\
0 & -2a & x-a & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & -2a & -2a & \cdots & x-a
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式性质：将一行乘以常数加到另一行，行列式值不变。
提示：注意第2行第2列变为x-a，第3行第2列变为-a-a=-2a，以此类推。
步骤 4/5
目标：按第1列展开
按第1列展开，由于第1列只有第1行元素为1，其余为0，所以展开后得到：
$$D_n=(x+(n-1)a)\begin{vmatrix}
x-a & 0 & \cdots & 0 \\
-2a & x-a & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
-2a & -2a & \cdots & x-a
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式按列展开公式：$\det(A)=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}$。
提示：注意余子式的符号：第1行第1列，符号为正。
步骤 5/5
目标：计算下三角行列式
得到的行列式是下三角行列式，对角线上元素均为$x-a$，所以其值为$(x-a)^{n-1}$。因此：
$$D_n=(x+(n-1)a)(x-a)^{n-1}.$$
公式：下三角行列式等于对角线元素的乘积。
提示：注意行列式的阶数为n-1，对角线元素都是x-a。
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