广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $P$ 为数域，在 $P^{4}$ 中，令
$$
\begin{gathered}
W_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}-2 x_{2}+2 x_{4}=0, x_{1}+2 x_{3}=0\right\} \\
W_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}-4 x_{2}-2 x_{3}+4 x_{4}=0 .\right\}
\end{gathered}
$$
则 $W_{1} \cap W_{2}$ 的维数是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意，明确求解目标
题目要求 $W_1 \cap W_2$ 的维数。$W_1$ 和 $W_2$ 是 $P^4$ 中的子空间，分别由齐次线性方程组定义。$W_1 \cap W_2$ 是同时满足 $W_1$ 和 $W_2$ 中方程组的向量集合，即联立方程组的解空间。
提示：注意 $W_1$ 由两个方程定义，$W_2$ 由一个方程定义，联立后得到三个方程。
步骤 2/7
目标：写出联立方程组
联立 $W_1$ 和 $W_2$ 的方程：
$$
\begin{cases}
x_1 - 2x_2 + 2x_4 = 0 \\
x_1 + 2x_3 = 0 \\
x_1 - 4x_2 - 2x_3 + 4x_4 = 0
\end{cases}
$$
提示：注意抄写方程时不要遗漏或写错系数。
步骤 3/7
目标：写出系数矩阵
系数矩阵 $A$ 为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 2 \\
1 & 0 & 2 & 0 \\
1 & -4 & -2 & 4
\end{pmatrix}
$$
提示：矩阵的行对应方程，列对应变量 $x_1, x_2, x_3, x_4$。
步骤 4/7
目标：对系数矩阵进行初等行变换
第一步：$r_2 - r_1$，$r_3 - r_1$ 得：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 2 & -2 \\
0 & -2 & -2 & 2
\end{pmatrix}
$$
第二步：$r_3 + r_2$ 得：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
第三步：$r_2 / 2$ 得：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
第四步：$r_1 + 2r_2$ 得：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：行变换要逐步进行，注意每一步的运算准确性。
步骤 5/7
目标：确定矩阵的秩
化简后的矩阵有2个非零行，因此秩 $r = 2$。
提示：秩等于非零行的行数。
步骤 6/7
目标：计算解空间维数
未知数个数 $n = 4$，秩 $r = 2$，则解空间维数为 $n - r = 4 - 2 = 2$。
公式：解空间维数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩
提示：注意公式：解空间维数 = n - rank(A)。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $W_1 \cap W_2$ 的维数为 $2$。
提示：最终答案是一个数字。
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