广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．设向量组 $\alpha_{1}=(1,0,3,4,3)^{\prime}, \alpha_{2}=(3,-1,2,1,3)^{\prime}, \alpha_{3}=(-1,1,0,5,2)^{\prime}, \alpha_{4}=(3,0,5,10,8)^{\prime}, \alpha_{5}=(-1,0,1,-2,-2)^{\prime}$则 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 的秩是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造矩阵
将向量组按列排成矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5)$，即
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 3 & -1 \\
0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 0 & 5 & 1 \\
4 & 1 & 5 & 10 & -2 \\
3 & 3 & 2 & 8 & -2
\end{pmatrix}.$$
提示：注意向量是列向量，按列排列。
步骤 2/7
目标：初等行变换：消去第一列下方元素
对 $A$ 进行初等行变换，将第一列除第一个元素外化为0：
$$\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 3 & -1 \\
0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 0 & 5 & 1 \\
4 & 1 & 5 & 10 & -2 \\
3 & 3 & 2 & 8 & -2
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_3-3R_1, R_4-4R_1, R_5-3R_1}
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 3 & -1 \\
0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -7 & 3 & -4 & 4 \\
0 & -11 & 9 & -2 & 2 \\
0 & -6 & 5 & -1 & 1
\end{pmatrix}.$$
提示：初等行变换要小心计算，避免符号错误。
步骤 3/7
目标：简化第二行
将第二行乘以 $-1$ 使主元为1：
$$\xrightarrow{R_2 \times (-1)}
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 3 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & -7 & 3 & -4 & 4 \\
0 & -11 & 9 & -2 & 2 \\
0 & -6 & 5 & -1 & 1
\end{pmatrix}.$$
提示：乘以负数时注意所有元素变号。
步骤 4/7
目标：消去第二列下方元素
利用第二行消去第三、四、五行第二列的元素：
$$\xrightarrow{R_3+7R_2, R_4+11R_2, R_5+6R_2}
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 3 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -4 & -4 & 4 \\
0 & 0 & -2 & -2 & 2 \\
0 & 0 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.$$
提示：注意倍数计算正确，避免漏乘。
步骤 5/7
目标：简化第三行
将第三行除以 $-4$ 使主元为1：
$$\xrightarrow{R_3 \div (-4)}
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 3 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & -2 & -2 & 2 \\
0 & 0 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.$$
提示：除法要精确，注意分数。
步骤 6/7
目标：消去第三列下方元素
利用第三行消去第四、五行第三列的元素：
$$\xrightarrow{R_4+2R_3, R_5+R_3}
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 3 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$$
提示：注意第四、五行全为零，说明秩为3。
步骤 7/7
目标：确定秩
行阶梯形矩阵有3个非零行，所以向量组的秩为3。
提示：秩等于非零行的行数。
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