广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
七．（18 分）设 $m$ 为正整数，$\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 为数域 $P$ 上的非零多项式，证明：$\displaystyle g^{m}(x) \mid f^{m}(x)$ 的充分必要条件是 $\displaystyle g(x) \mid f(x)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：必要性：假设条件，引入因式分解
假设 $g^m(x) \mid f^m(x)$，则存在多项式 $h(x)$ 使得 $f^m(x) = g^m(x) h(x)$。设 $g(x)$ 在数域 $P$ 上的标准分解式为 $g(x) = a \prod_{i=1}^r p_i^{e_i}(x)$，其中 $p_i(x)$ 是互不相同的首一不可约多项式，$e_i \geq 1$，$a \neq 0$。则 $g^m(x) = a^m \prod_{i=1}^r p_i^{m e_i}(x)$。
公式：g(x) = a \prod_{i=1}^r p_i^{e_i}(x)
提示：注意标准分解式中首一不可约多项式互不相同，且系数非零。
步骤 2/6
目标：必要性：分析f^m的因式分解
设 $f(x)$ 的分解式为 $f(x) = b \prod_{i=1}^r p_i^{f_i}(x) \cdot q(x)$，其中 $q(x)$ 与所有 $p_i(x)$ 互素，$f_i \geq 0$。则 $f^m(x) = b^m \prod_{i=1}^r p_i^{m f_i}(x) \cdot q^m(x)$。
公式：f^m(x) = b^m \prod_{i=1}^r p_i^{m f_i}(x) \cdot q^m(x)
提示：注意f(x)可能含有与g(x)不同的不可约因子，用q(x)表示。
步骤 3/6
目标：必要性：由整除性推出指数关系
由于 $g^m(x) \mid f^m(x)$，对每个 $i$ 有 $m f_i \geq m e_i$，即 $f_i \geq e_i$。因此 $p_i^{e_i}(x) \mid f(x)$ 对每个 $i$ 成立。
公式：m f_i \geq m e_i \Rightarrow f_i \geq e_i
提示：注意指数比较时，m为正整数，可约去。
步骤 4/6
目标：必要性：得出g整除f
因为每个 $p_i^{e_i}(x)$ 整除 $f(x)$，且 $q(x)$ 与 $g(x)$ 互素，所以 $g(x) = a \prod_{i=1}^r p_i^{e_i}(x)$ 整除 $f(x)$，即 $g(x) \mid f(x)$。
提示：注意常数因子a不影响整除性。
步骤 5/6
目标：充分性：假设g整除f，取幂
假设 $g(x) \mid f(x)$，则存在多项式 $k(x)$ 使得 $f(x) = g(x) k(x)$。两边取 $m$ 次幂得 $f^m(x) = g^m(x) k^m(x)$，因此 $g^m(x) \mid f^m(x)$。
公式：f(x) = g(x) k(x) \Rightarrow f^m(x) = g^m(x) k^m(x)
提示：注意取幂后整除关系仍然成立。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，$g^m(x) \mid f^m(x)$ 当且仅当 $g(x) \mid f(x)$。
提示：注意必要性需要因式分解，充分性直接取幂。
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