广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
8．设二阶矩阵 $\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 0 & t\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}-10 & -4 \\ 26 & 11\end{array}\right)$ 相似，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设矩阵并理解相似条件
设 $A=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & t \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} -10 & -4 \\ 26 & 11 \end{pmatrix}$。由于 $A$ 与 $B$ 相似，则它们有相同的特征值。
提示：相似矩阵的特征值相同，但特征向量不一定相同。
步骤 2/5
目标：求矩阵A的特征值
计算特征多项式：$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda+2 & -1 \\ 0 & \lambda-t \end{vmatrix} = (\lambda+2)(\lambda-t)=0$，所以特征值为 $\lambda_1=-2$, $\lambda_2=t$。
公式：$|\lambda I - A|=0$
提示：注意上三角矩阵的特征值就是对角线元素。
步骤 3/5
目标：求矩阵B的特征值
计算特征多项式：$|\lambda I - B| = \begin{vmatrix} \lambda+10 & 4 \\ -26 & \lambda-11 \end{vmatrix} = (\lambda+10)(\lambda-11)+104 = \lambda^2 -\lambda -110+104 = \lambda^2 -\lambda -6 = (\lambda-3)(\lambda+2)=0$，所以特征值为 $\lambda_1=3$, $\lambda_2=-2$。
公式：$|\lambda I - B|=0$
提示：计算行列式时注意符号，展开后合并同类项。
步骤 4/5
目标：利用特征值相等建立方程
由于相似矩阵有相同的特征值，因此 $A$ 的特征值集合 $\{-2, t\}$ 必须等于 $B$ 的特征值集合 $\{-2, 3\}$。比较得 $t=3$。
提示：注意特征值集合是无序的，但这里-2已经相同，所以t必须等于3。
步骤 5/5
目标：验证结果
当 $t=3$ 时，$A$ 的特征值为 $-2$ 和 $3$，与 $B$ 的特征值相同。因此 $t=3$ 是正确答案。
提示：可以进一步验证迹和行列式是否相等：$\operatorname{tr}(A)=-2+3=1$, $\operatorname{tr}(B)=-10+11=1$；$\det(A)=(-2)\times3=-6$, $\det(B)=(-10)\times11-(-4)\times26=-110+104=-6$，一致。
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